Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodrbdclem GIF version

Theorem prodrbdclem 11347
 Description: Lemma for prodrbdc 11350. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrbdc.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
prodrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
prodrbdclem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodrbdclem
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulid2 7771 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
21adantl 275 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (1 · 𝑛) = 𝑛)
3 1cnd 7789 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4 prodrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 274 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluzelz 9342 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 prodrbdc.dc . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
9 exmiddc 821 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
108, 9syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
11 iftrue 3479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
1211adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
13 prodmo.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1412, 13eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1514ex 114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
16 iffalse 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
17 ax-1cn 7720 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
1816, 17eqeltrdi 2230 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1918a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
2015, 19jaod 706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
2120adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
2210, 21mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
2322ralrimiva 2505 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
24 nfcv 2281 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑁
2524nfel1 2292 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑁𝐴
26 nfcsb1v 3035 . . . . . . . . 9 𝑘𝑁 / 𝑘𝐵
27 nfcv 2281 . . . . . . . . 9 𝑘1
2825, 26, 27nfif 3500 . . . . . . . 8 𝑘if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1)
2928nfel1 2292 . . . . . . 7 𝑘if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ
30 eleq1 2202 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝐴𝑁𝐴))
31 csbeq1a 3012 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁𝐵 = 𝑁 / 𝑘𝐵)
3230, 31ifbieq1d 3494 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1))
3332eleq1d 2208 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
3429, 33rspc 2783 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ → if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
354, 23, 34sylc 62 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
3635adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
37 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
3824, 28, 32, 37fvmptf 5513 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1))
397, 36, 38syl2anc 408 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1))
4039, 36eqeltrd 2216 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
41 elfzelz 9813 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
42 elfzuz 9809 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4342adantl 275 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4423ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
45 nfv 1508 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛𝐴
46 nfcsb1v 3035 . . . . . . . 8 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
4745, 46, 27nfif 3500 . . . . . . 7 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1)
4847nfel1 2292 . . . . . 6 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ
49 eleq1w 2200 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
50 csbeq1a 3012 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
5149, 50ifbieq1d 3494 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
5251eleq1d 2208 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
5348, 52rspc 2783 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
5443, 44, 53sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
55 nfcv 2281 . . . . 5 𝑘𝑛
5655, 47, 51, 37fvmptf 5513 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
5741, 54, 56syl2an2 583 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
58 uznfz 9890 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5958con2i 616 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
6059adantl 275 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
61 ssel 3091 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑁) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
6261ad2antlr 480 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
6360, 62mtod 652 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
6463iffalsed 3484 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
6557, 64eqtrd 2172 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 1)
66 eluzelz 9342 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
67 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
6823ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
6967, 68, 53sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
7066, 69, 56syl2an2 583 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
7170, 69eqeltrd 2216 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
72 mulcl 7754 . . 3 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 · 𝑧) ∈ ℂ)
7372adantl 275 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 · 𝑧) ∈ ℂ)
742, 3, 5, 40, 65, 71, 73seq3id 10288 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ⦋csb 3003   ⊆ wss 3071  ifcif 3474   ↦ cmpt 3989   ↾ cres 4541  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  1c1 7628   · cmul 7632   − cmin 7940  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  ...cfz 9797  seqcseq 10225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226 This theorem is referenced by:  prodrbdclem2  11349
 Copyright terms: Public domain W3C validator