ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodrbdclem GIF version

Theorem prodrbdclem 11579
Description: Lemma for prodrbdc 11582. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
prodmo.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
prodrbdc.dc ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
prodrb.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
Assertion
Ref Expression
prodrbdclem ((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ†พ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) = seq๐‘( ยท , ๐น))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem prodrbdclem
Dummy variables ๐‘› ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mullid 7955 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐‘›) = ๐‘›)
21adantl 277 . 2 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐‘›) = ๐‘›)
3 1cnd 7973 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4 prodrb.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
54adantr 276 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
6 eluzelz 9537 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
75, 6syl 14 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8 prodrbdc.dc . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
9 exmiddc 836 . . . . . . . . 9 (DECID ๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
108, 9syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
11 iftrue 3540 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = ๐ต)
1211adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = ๐ต)
13 prodmo.2 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1412, 13eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
1514ex 115 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚))
16 iffalse 3543 . . . . . . . . . . . 12 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = 1)
17 ax-1cn 7904 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
1816, 17eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
1918a1i 9 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚))
2015, 19jaod 717 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚))
2120adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆจ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚))
2210, 21mpd 13 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
2322ralrimiva 2550 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
24 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜๐‘
2524nfel1 2330 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘ โˆˆ ๐ด
26 nfcsb1v 3091 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต
27 nfcv 2319 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜1
2825, 26, 27nfif 3563 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
2928nfel1 2330 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚
30 eleq1 2240 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ โˆˆ ๐ด))
31 csbeq1a 3067 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
3230, 31ifbieq1d 3557 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
3332eleq1d 2246 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚ โ†” if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚))
3429, 33rspc 2836 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚))
354, 23, 34sylc 62 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
3635adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
37 prodmo.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
3824, 28, 32, 37fvmptf 5609 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
397, 36, 38syl2anc 411 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘ / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
4039, 36eqeltrd 2254 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
41 elfzelz 10025 . . . 4 (๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
42 elfzuz 10021 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4342adantl 277 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4423ad2antrr 488 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
45 nfv 1528 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘› โˆˆ ๐ด
46 nfcsb1v 3091 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต
4745, 46, 27nfif 3563 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
4847nfel1 2330 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚
49 eleq1w 2238 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘› โˆˆ ๐ด))
50 csbeq1a 3067 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5149, 50ifbieq1d 3557 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
5251eleq1d 2246 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚ โ†” if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚))
5348, 52rspc 2836 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚))
5443, 44, 53sylc 62 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
55 nfcv 2319 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜๐‘›
5655, 47, 51, 37fvmptf 5609 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
5741, 54, 56syl2an2 594 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
58 uznfz 10103 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)))
5958con2i 627 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
6059adantl 277 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘))
61 ssel 3150 . . . . . 6 (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)))
6261ad2antlr 489 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐ด โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)))
6360, 62mtod 663 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘› โˆˆ ๐ด)
6463iffalsed 3545 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) = 1)
6557, 64eqtrd 2210 . 2 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = 1)
66 eluzelz 9537 . . . 4 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
67 simpr 110 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
6823ad2antrr 488 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
6967, 68, 53sylc 62 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1) โˆˆ โ„‚)
7066, 69, 56syl2an2 594 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) = if(๐‘› โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
7170, 69eqeltrd 2254 . 2 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
72 mulcl 7938 . . 3 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
7372adantl 277 . 2 (((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
742, 3, 5, 40, 65, 71, 73seq3id 10508 1 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ†พ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) = seq๐‘( ยท , ๐น))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โฆ‹csb 3058   โŠ† wss 3130  ifcif 3535   โ†ฆ cmpt 4065   โ†พ cres 4629  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  1c1 7812   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  ...cfz 10008  seqcseq 10445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446
This theorem is referenced by:  prodrbdclem2  11581
  Copyright terms: Public domain W3C validator