Theorem prodrbdclem 12282

Description: Lemma for prodrbdc 12285. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrbdc.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
prodrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
prodrbdclem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodrbdclem

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullid 8288	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (1 · 𝑛) = 𝑛)
3		1cnd 8306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4		prodrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzelz 9881	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		prodrbdc.dc	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
9		exmiddc 844	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
11		iftrue 3631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
13		prodmo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
16		iffalse 3634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = 1)
17		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	16, 17	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
20	15, 19	jaod 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
23	22	ralrimiva 2617	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
24		nfcv 2386	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝑁
25	24	nfel1 2397	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑁 ∈ 𝐴
26		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵
27		nfcv 2386	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘1
28	25, 26, 27	nfif 3655	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1)
29	28	nfel1 2397	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ
30		eleq1 2297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
31		csbeq1a 3150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵)
32	30, 31	ifbieq1d 3649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1))
33	32	eleq1d 2303	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ))
34	29, 33	rspc 2917	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ))
35	4, 23, 34	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ)
37		prodmo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
38	24, 28, 32, 37	fvmptf 5775	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1))
39	7, 36, 38	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 1))
40	39, 36	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
41		elfzelz 10378	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
42		elfzuz 10374	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
43	42	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
44	23	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
45		nfv 1577	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ 𝐴
46		nfcsb1v 3174	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵
47	45, 46, 27	nfif 3655	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1)
48	47	nfel1 2397	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ
49		eleq1w 2295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
50		csbeq1a 3150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝐵 = ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵)
51	49, 50	ifbieq1d 3649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1))
52	51	eleq1d 2303	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ))
53	48, 52	rspc 2917	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ))
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ)
55		nfcv 2386	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5775	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1))
57	41, 54, 56	syl2an2 598	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1))
58		uznfz 10459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
59	58	con2i 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
60	59	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
61		ssel 3236	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
62	61	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
63	60, 62	mtod 669	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ 𝐴)
64	63	iffalsed 3636	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1) = 1)
65	57, 64	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = 1)
66		eluzelz 9881	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
67		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
68	23	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1) ∈ ℂ)
70	66, 69, 56	syl2an2 598	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 1))
71	70, 69	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
72		mulcl 8270	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 · 𝑧) ∈ ℂ)
73	72	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 · 𝑧) ∈ ℂ)
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10911	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ⦋csb 3141   ⊆ wss 3214  ifcif 3624   ↦ cmpt 4176   ↾ cres 4756  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  1c1 8144   · cmul 8148   − cmin 8460  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ...cfz 10361  seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  prodrbdclem2  12284