ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodrbdclem GIF version

Theorem prodrbdclem 11527
Description: Lemma for prodrbdc 11530. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrbdc.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
prodrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
prodrbdclem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodrbdclem
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulid2 7911 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (1 · 𝑛) = 𝑛)
21adantl 275 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (1 · 𝑛) = 𝑛)
3 1cnd 7929 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4 prodrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 274 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluzelz 9489 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 prodrbdc.dc . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
9 exmiddc 831 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
108, 9syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
11 iftrue 3530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
1211adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 𝐵)
13 prodmo.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1412, 13eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1514ex 114 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
16 iffalse 3533 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = 1)
17 ax-1cn 7860 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
1816, 17eqeltrdi 2261 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
1918a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
2015, 19jaod 712 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
2120adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ))
2210, 21mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
2322ralrimiva 2543 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
24 nfcv 2312 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑁
2524nfel1 2323 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑁𝐴
26 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . 9 𝑘𝑁 / 𝑘𝐵
27 nfcv 2312 . . . . . . . . 9 𝑘1
2825, 26, 27nfif 3553 . . . . . . . 8 𝑘if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1)
2928nfel1 2323 . . . . . . 7 𝑘if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ
30 eleq1 2233 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝐴𝑁𝐴))
31 csbeq1a 3058 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁𝐵 = 𝑁 / 𝑘𝐵)
3230, 31ifbieq1d 3547 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1))
3332eleq1d 2239 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
3429, 33rspc 2828 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ → if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
354, 23, 34sylc 62 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
3635adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
37 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
3824, 28, 32, 37fvmptf 5586 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1))
397, 36, 38syl2anc 409 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 1))
4039, 36eqeltrd 2247 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
41 elfzelz 9974 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
42 elfzuz 9970 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4342adantl 275 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4423ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
45 nfv 1521 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛𝐴
46 nfcsb1v 3082 . . . . . . . 8 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
4745, 46, 27nfif 3553 . . . . . . 7 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1)
4847nfel1 2323 . . . . . 6 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ
49 eleq1w 2231 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
50 csbeq1a 3058 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
5149, 50ifbieq1d 3547 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
5251eleq1d 2239 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ ↔ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
5348, 52rspc 2828 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ))
5443, 44, 53sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
55 nfcv 2312 . . . . 5 𝑘𝑛
5655, 47, 51, 37fvmptf 5586 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
5741, 54, 56syl2an2 589 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
58 uznfz 10052 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5958con2i 622 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
6059adantl 275 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
61 ssel 3141 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑁) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
6261ad2antlr 486 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
6360, 62mtod 658 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
6463iffalsed 3535 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) = 1)
6557, 64eqtrd 2203 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 1)
66 eluzelz 9489 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
67 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
6823ad2antrr 485 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 1) ∈ ℂ)
6967, 68, 53sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1) ∈ ℂ)
7066, 69, 56syl2an2 589 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 1))
7170, 69eqeltrd 2247 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
72 mulcl 7894 . . 3 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 · 𝑧) ∈ ℂ)
7372adantl 275 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 · 𝑧) ∈ ℂ)
742, 3, 5, 40, 65, 71, 73seq3id 10457 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  csb 3049  wss 3121  ifcif 3525  cmpt 4048  cres 4611  cfv 5196  (class class class)co 5851  cc 7765  1c1 7768   · cmul 7772  cmin 8083  cz 9205  cuz 9480  ...cfz 9958  seqcseq 10394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395
This theorem is referenced by:  prodrbdclem2  11529
  Copyright terms: Public domain W3C validator