Theorem pcmptdvds 12290

Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmptdvds	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nfv 1521	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
4	3	nfel1 2323	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0
5		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
6	5	eleq1d 2239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
7	2, 4, 6	cbvralw 2691	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
8	1, 7	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
9		csbeq1 3052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
11	10	rspcv 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
12	8, 11	mpan9 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
13	12	nn0ge0d 9184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
14		0le0 8960	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 0)
16		prmz 12058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
17		pcmptdvds.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
18		eluzelz 9489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		zdcle 9281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑀)
22	16, 20, 21	syl2an2 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑀)
23		pcmpt.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnzd 9326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zdcle 9281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑁)
27	16, 25, 26	syl2an2 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑁)
28		dcn 837	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑝 ≤ 𝑁 → DECID ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)
30		dcan2 929	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑝 ≤ 𝑀 → (DECID ¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → DECID (𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)))
31	22, 29, 30	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID (𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
32		breq2 3991	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
33		breq2 3991	. . . . . . 7 ⊢ (0 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
34	32, 33	ifbothdc 3557	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∧ 0 ≤ 0 ∧ DECID (𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
35	13, 15, 31, 34	syl3anc 1233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
36		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
37		nfcv 2312	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)
38		nfv 1521	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ∈ ℙ
39		nfcv 2312	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
40		nfcv 2312	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛↑
41	39, 40, 3	nfov 5881	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
42		nfcv 2312	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛1
43	38, 41, 42	nfif 3553	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1)
44		eleq1w 2231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
45		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
46	45, 5	oveq12d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑𝐴) = (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
47	44, 46	ifbieq1d 3547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
48	37, 43, 47	cbvmpt 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
49	36, 48	eqtri 2191	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
50	8	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
51		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
52	17	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
53	49, 50, 24, 51, 9, 52	pcmpt2 12289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
54	35, 53	breqtrrd 4015	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
55	54	ralrimiva 2543	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
56	36, 1	pcmptcl 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
57	56	simprd 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
58		eluznn 9552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
59	23, 17, 58	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
60	57, 59	ffvelrnd 5630	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
61	60	nnzd 9326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
62	57, 23	ffvelrnd 5630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
63		znq 9576	. . . . 5 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
64	61, 62, 63	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
65		pcz 12278	. . . 4 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
66	64, 65	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
67	55, 66	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
68	62	nnzd 9326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
69	62	nnne0d 8916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
70		dvdsval2 11745	. . 3 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
71	68, 69, 61, 70	syl3anc 1233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
72	67, 71	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∀wral 2448  ⦋csb 3049  ifcif 3525   class class class wbr 3987   ↦ cmpt 4048  ⟶wf 5192  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  0cc0 7767  1c1 7768   · cmul 7772   ≤ cle 7948   / cdiv 8582  ℕcn 8871  ℕ₀cn0 9128  ℤcz 9205  ℤ_≥cuz 9480  ℚcq 9571  seqcseq 10394  ↑cexp 10468   ∥ cdvds 11742  ℙcprime 12054   pCnt cpc 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6511  df-en 6717  df-fin 6719  df-sup 6959  df-inf 6960  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-n0 9129  df-xnn0 9192  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-fl 10219  df-mod 10272  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-dvds 11743  df-gcd 11891  df-prm 12055  df-pc 12232

This theorem is referenced by: (None)