Theorem pcmptdvds 12941

Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmptdvds	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nfv 1576	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3		nfcsb1v 3159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
4	3	nfel1 2384	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0
5		csbeq1a 3135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
6	5	eleq1d 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
7	2, 4, 6	cbvralw 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
8	1, 7	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
9		csbeq1 3129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	eleq1d 2299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
11	10	rspcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
12	8, 11	mpan9 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
13	12	nn0ge0d 9463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
14		0le0 9237	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 0)
16		prmz 12706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
17		pcmptdvds.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
18		eluzelz 9770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		zdcle 9561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑀)
22	16, 20, 21	syl2an2 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑀)
23		pcmpt.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnzd 9606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zdcle 9561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑁)
27	16, 25, 26	syl2an2 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑁)
28		dcn 849	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑝 ≤ 𝑁 → DECID ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)
30		dcan2 942	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑝 ≤ 𝑀 → (DECID ¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → DECID (𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)))
31	22, 29, 30	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID (𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
32		breq2 4093	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
33		breq2 4093	. . . . . . 7 ⊢ (0 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
34	32, 33	ifbothdc 3641	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∧ 0 ≤ 0 ∧ DECID (𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
35	13, 15, 31, 34	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
36		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
37		nfcv 2373	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)
38		nfv 1576	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ∈ ℙ
39		nfcv 2373	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
40		nfcv 2373	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛↑
41	39, 40, 3	nfov 6053	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
42		nfcv 2373	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛1
43	38, 41, 42	nfif 3635	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1)
44		eleq1w 2291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
45		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
46	45, 5	oveq12d 6041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑𝐴) = (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
47	44, 46	ifbieq1d 3629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
48	37, 43, 47	cbvmpt 4185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
49	36, 48	eqtri 2251	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
50	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
52	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
53	49, 50, 24, 51, 9, 52	pcmpt2 12940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
54	35, 53	breqtrrd 4117	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
55	54	ralrimiva 2604	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
56	36, 1	pcmptcl 12938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
57	56	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
58		eluznn 9839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
59	23, 17, 58	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
60	57, 59	ffvelcdmd 5786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
61	60	nnzd 9606	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
62	57, 23	ffvelcdmd 5786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
63		znq 9863	. . . . 5 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
64	61, 62, 63	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
65		pcz 12928	. . . 4 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
66	64, 65	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
67	55, 66	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
68	62	nnzd 9606	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
69	62	nnne0d 9193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
70		dvdsval2 12374	. . 3 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
71	68, 69, 61, 70	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
72	67, 71	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401  ∀wral 2509  ⦋csb 3126  ifcif 3604   class class class wbr 4089   ↦ cmpt 4151  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  0cc0 8037  1c1 8038   · cmul 8042   ≤ cle 8220   / cdiv 8857  ℕcn 9148  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ℚcq 9858  seqcseq 10715  ↑cexp 10806   ∥ cdvds 12371  ℙcprime 12702   pCnt cpc 12880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-2o 6588  df-er 6707  df-en 6915  df-fin 6917  df-sup 7188  df-inf 7189  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-xnn0 9471  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-dvds 12372  df-gcd 12548  df-prm 12703  df-pc 12881

This theorem is referenced by: (None)