Theorem pcmptdvds 12483

Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
pcmptdvds	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds

Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcmpt.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nfv 1539	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3		nfcsb1v 3113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴
4	3	nfel1 2347	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0
5		csbeq1a 3089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
6	5	eleq1d 2262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
7	2, 4, 6	cbvralw 2720	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
8	1, 7	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
9		csbeq1 3083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
10	9	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑝 → (⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
11	10	rspcv 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0 → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0))
12	8, 11	mpan9 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
13	12	nn0ge0d 9296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴)
14		0le0 9071	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
15	14	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 0)
16		prmz 12249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
17		pcmptdvds.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
18		eluzelz 9601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
21		zdcle 9393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑀)
22	16, 20, 21	syl2an2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑀)
23		pcmpt.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	24	nnzd 9438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		zdcle 9393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑁)
27	16, 25, 26	syl2an2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝 ≤ 𝑁)
28		dcn 843	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑝 ≤ 𝑁 → DECID ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)
30		dcan2 936	. . . . . . 7 ⊢ (DECID 𝑝 ≤ 𝑀 → (DECID ¬ 𝑝 ≤ 𝑁 → DECID (𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)))
31	22, 29, 30	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → DECID (𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁))
32		breq2 4033	. . . . . . 7 ⊢ (⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
33		breq2 4033	. . . . . . 7 ⊢ (0 = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0)))
34	32, 33	ifbothdc 3590	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴 ∧ 0 ≤ 0 ∧ DECID (𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
35	13, 15, 31, 34	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
36		pcmpt.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1))
37		nfcv 2336	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)
38		nfv 1539	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 ∈ ℙ
39		nfcv 2336	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
40		nfcv 2336	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛↑
41	39, 40, 3	nfov 5948	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴)
42		nfcv 2336	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛1
43	38, 41, 42	nfif 3585	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1)
44		eleq1w 2254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
45		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
46	45, 5	oveq12d 5936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑𝐴) = (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴))
47	44, 46	ifbieq1d 3579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
48	37, 43, 47	cbvmpt 4124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
49	36, 48	eqtri 2214	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚↑⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴), 1))
50	8	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ ⦋𝑚 / 𝑛⦌𝐴 ∈ ℕ0)
51		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
52	17	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
53	49, 50, 24, 51, 9, 52	pcmpt2 12482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝 ≤ 𝑀 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑁), ⦋𝑝 / 𝑛⦌𝐴, 0))
54	35, 53	breqtrrd 4057	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
55	54	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
56	36, 1	pcmptcl 12480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
57	56	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
58		eluznn 9665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
59	23, 17, 58	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
60	57, 59	ffvelcdmd 5694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
61	60	nnzd 9438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
62	57, 23	ffvelcdmd 5694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
63		znq 9689	. . . . 5 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
64	61, 62, 63	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
65		pcz 12470	. . . 4 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
66	64, 65	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
67	55, 66	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
68	62	nnzd 9438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
69	62	nnne0d 9027	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
70		dvdsval2 11933	. . 3 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
71	68, 69, 61, 70	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
72	67, 71	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  ⦋csb 3080  ifcif 3557   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877   ≤ cle 8055   / cdiv 8691  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ℚcq 9684  seqcseq 10518  ↑cexp 10609   ∥ cdvds 11930  ℙcprime 12245   pCnt cpc 12422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-xnn0 9304  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-pc 12423

This theorem is referenced by: (None)