ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcmptdvds GIF version
Theorem pcmptdvds 12357
Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
pcmpt.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
pcmptdvds.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
pcmptdvds (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€))
Proof of Theorem pcmptdvds
Dummy variables π‘š 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
2 nfv 1538 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š 𝐴 ∈ β„•0
3 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄
43nfel1 2340 . . . . . . . . . 10 β„²π‘›β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0
5 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ 𝐴 = β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄)
65eleq1d 2256 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐴 ∈ β„•0 ↔ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0))
72, 4, 6cbvralw 2709 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0 ↔ βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
81, 7sylib 122 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
9 csbeq1 3072 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑝 β†’ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ = ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄)
109eleq1d 2256 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑝 β†’ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0 ↔ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0))
1110rspcv 2849 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0 β†’ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0))
128, 11mpan9 281 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
1312nn0ge0d 9246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄)
14 0le0 9022 . . . . . . 7 0 ≀ 0
1514a1i 9 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ 0)
16 prmz 12125 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
17 pcmptdvds.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
18 eluzelz 9551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2019adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21 zdcle 9343 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑀)
2216, 20, 21syl2an2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑀)
23 pcmpt.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2423adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2524nnzd 9388 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
26 zdcle 9343 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑁)
2716, 25, 26syl2an2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑁)
28 dcn 843 . . . . . . . 8 (DECID 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ DECID Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)
30 dcan2 935 . . . . . . 7 (DECID 𝑝 ≀ 𝑀 β†’ (DECID Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ DECID (𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)))
3122, 29, 30sylc 62 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID (𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁))
32 breq2 4019 . . . . . . 7 (⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ = if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0) β†’ (0 ≀ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ↔ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0)))
33 breq2 4019 . . . . . . 7 (0 = if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0) β†’ (0 ≀ 0 ↔ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0)))
3432, 33ifbothdc 3579 . . . . . 6 ((0 ≀ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∧ 0 ≀ 0 ∧ DECID (𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0))
3513, 15, 31, 34syl3anc 1248 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0))
36 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
37 nfcv 2329 . . . . . . . 8 β„²π‘šif(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1)
38 nfv 1538 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛 π‘š ∈ β„™
39 nfcv 2329 . . . . . . . . . 10 β„²π‘›π‘š
40 nfcv 2329 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛↑
4139, 40, 3nfov 5918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄)
42 nfcv 2329 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛1
4338, 41, 42nfif 3574 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1)
44 eleq1w 2248 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘š ∈ β„™))
45 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ 𝑛 = π‘š)
4645, 5oveq12d 5906 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛↑𝐴) = (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄))
4744, 46ifbieq1d 3568 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1))
4837, 43, 47cbvmpt 4110 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1))
4936, 48eqtri 2208 . . . . . 6 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1))
508adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
51 simpr 110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
5217adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5349, 50, 24, 51, 9, 52pcmpt2 12356 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0))
5435, 53breqtrrd 4043 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
5554ralrimiva 2560 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ β„™ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
5636, 1pcmptcl 12354 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
5756simprd 114 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
58 eluznn 9614 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5923, 17, 58syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6057, 59ffvelcdmd 5665 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„•)
6160nnzd 9388 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€)
6257, 23ffvelcdmd 5665 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•)
63 znq 9638 . . . . 5 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„š)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„š)
65 pcz 12345 . . . 4 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„š β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€ ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))))
6664, 65syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€ ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))))
6755, 66mpbird 167 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€)
6862nnzd 9388 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„€)
6962nnne0d 8978 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) β‰  0)
70 dvdsval2 11811 . . 3 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„€ ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) β‰  0 ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€))
7168, 69, 61, 70syl3anc 1248 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€))
7267, 71mpbird 167 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   β‰  wne 2357  βˆ€wral 2465  β¦‹csb 3069  ifcif 3546   class class class wbr 4015   ↦ cmpt 4076  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  0cc0 7825  1c1 7826   Β· cmul 7830   ≀ cle 8007   / cdiv 8643  β„•cn 8933  β„•0cn0 9190  β„€cz 9267  β„€β‰₯cuz 9542  β„šcq 9633  seqcseq 10459  β†‘cexp 10533   βˆ₯ cdvds 11808  β„™cprime 12121   pCnt cpc 12298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-er 6549  df-en 6755  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-xnn0 9254  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-prm 12122  df-pc 12299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator