ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcmptdvds GIF version

Theorem pcmptdvds 12326
Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmptdvds (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds
Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nfv 1528 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
43nfel1 2330 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0
5 csbeq1a 3066 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
65eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
72, 4, 6cbvralw 2698 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
81, 7sylib 122 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
9 csbeq1 3060 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑝𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑝 / 𝑛𝐴)
109eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑝 → (𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
1110rspcv 2837 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
128, 11mpan9 281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 9221 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴)
14 0le0 8997 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1514a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 0)
16 prmz 12094 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
17 pcmptdvds.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
18 eluzelz 9526 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2019adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 zdcle 9318 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑝𝑀)
2216, 20, 21syl2an2 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝𝑀)
23 pcmpt.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2423adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2524nnzd 9363 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26 zdcle 9318 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑝𝑁)
2716, 25, 26syl2an2 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝𝑁)
28 dcn 842 . . . . . . . 8 (DECID 𝑝𝑁DECID ¬ 𝑝𝑁)
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → DECID ¬ 𝑝𝑁)
30 dcan2 934 . . . . . . 7 (DECID 𝑝𝑀 → (DECID ¬ 𝑝𝑁DECID (𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁)))
3122, 29, 30sylc 62 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → DECID (𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁))
32 breq2 4004 . . . . . . 7 (𝑝 / 𝑛𝐴 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
33 breq2 4004 . . . . . . 7 (0 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
3432, 33ifbothdc 3566 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ∧ 0 ≤ 0 ∧ DECID (𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
3513, 15, 31, 34syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
36 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
37 nfcv 2319 . . . . . . . 8 𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)
38 nfv 1528 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑚 ∈ ℙ
39 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚
40 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 𝑛
4139, 40, 3nfov 5899 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑚𝑚 / 𝑛𝐴)
42 nfcv 2319 . . . . . . . . 9 𝑛1
4338, 41, 42nfif 3562 . . . . . . . 8 𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1)
44 eleq1w 2238 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
45 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
4645, 5oveq12d 5887 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝐴) = (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴))
4744, 46ifbieq1d 3556 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
4837, 43, 47cbvmpt 4095 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
4936, 48eqtri 2198 . . . . . 6 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
508adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
51 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
5217adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
5349, 50, 24, 51, 9, 52pcmpt2 12325 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
5435, 53breqtrrd 4028 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
5554ralrimiva 2550 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
5636, 1pcmptcl 12323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
5756simprd 114 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
58 eluznn 9589 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5923, 17, 58syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6057, 59ffvelcdmd 5648 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
6160nnzd 9363 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
6257, 23ffvelcdmd 5648 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
63 znq 9613 . . . . 5 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
65 pcz 12314 . . . 4 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
6664, 65syl 14 . . 3 (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
6755, 66mpbird 167 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
6862nnzd 9363 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
6962nnne0d 8953 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
70 dvdsval2 11781 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
7168, 69, 61, 70syl3anc 1238 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
7267, 71mpbird 167 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  csb 3057  ifcif 3534   class class class wbr 4000  cmpt 4061  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  0cc0 7802  1c1 7803   · cmul 7807  cle 7983   / cdiv 8618  cn 8908  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  cq 9608  seqcseq 10431  cexp 10505  cdvds 11778  cprime 12090   pCnt cpc 12267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-xnn0 9229  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-pc 12268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator