ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcmptdvds GIF version

Theorem pcmptdvds 12357
Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
pcmpt.2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
pcmpt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pcmptdvds.3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
pcmptdvds (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem pcmptdvds
Dummy variables 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nfv 1538 . . . . . . . . . 10 𝑚 𝐴 ∈ ℕ0
3 nfcsb1v 3102 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
43nfel1 2340 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0
5 csbeq1a 3078 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
65eleq1d 2256 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℕ0𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
72, 4, 6cbvralw 2709 . . . . . . . . 9 (∀𝑛 ∈ ℙ 𝐴 ∈ ℕ0 ↔ ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
81, 7sylib 122 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
9 csbeq1 3072 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑝𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑝 / 𝑛𝐴)
109eleq1d 2256 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑝 → (𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
1110rspcv 2849 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → (∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0))
128, 11mpan9 281 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 9246 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴)
14 0le0 9022 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1514a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ 0)
16 prmz 12125 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
17 pcmptdvds.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
18 eluzelz 9551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2019adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 zdcle 9343 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑝𝑀)
2216, 20, 21syl2an2 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝𝑀)
23 pcmpt.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2423adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2524nnzd 9388 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
26 zdcle 9343 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑝𝑁)
2716, 25, 26syl2an2 594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → DECID 𝑝𝑁)
28 dcn 843 . . . . . . . 8 (DECID 𝑝𝑁DECID ¬ 𝑝𝑁)
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → DECID ¬ 𝑝𝑁)
30 dcan2 935 . . . . . . 7 (DECID 𝑝𝑀 → (DECID ¬ 𝑝𝑁DECID (𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁)))
3122, 29, 30sylc 62 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → DECID (𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁))
32 breq2 4019 . . . . . . 7 (𝑝 / 𝑛𝐴 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
33 breq2 4019 . . . . . . 7 (0 = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0)))
3432, 33ifbothdc 3579 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝑝 / 𝑛𝐴 ∧ 0 ≤ 0 ∧ DECID (𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁)) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
3513, 15, 31, 34syl3anc 1248 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
36 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1))
37 nfcv 2329 . . . . . . . 8 𝑚if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)
38 nfv 1538 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑚 ∈ ℙ
39 nfcv 2329 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚
40 nfcv 2329 . . . . . . . . . 10 𝑛
4139, 40, 3nfov 5918 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑚𝑚 / 𝑛𝐴)
42 nfcv 2329 . . . . . . . . 9 𝑛1
4338, 41, 42nfif 3574 . . . . . . . 8 𝑛if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1)
44 eleq1w 2248 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑚 ∈ ℙ))
45 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
4645, 5oveq12d 5906 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛𝐴) = (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴))
4744, 46ifbieq1d 3568 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1) = if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
4837, 43, 47cbvmpt 4110 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛𝐴), 1)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
4936, 48eqtri 2208 . . . . . 6 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, (𝑚𝑚 / 𝑛𝐴), 1))
508adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑚 ∈ ℙ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ ℕ0)
51 simpr 110 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
5217adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁))
5349, 50, 24, 51, 9, 52pcmpt2 12356 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))) = if((𝑝𝑀 ∧ ¬ 𝑝𝑁), 𝑝 / 𝑛𝐴, 0))
5435, 53breqtrrd 4043 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
5554ralrimiva 2560 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))))
5636, 1pcmptcl 12354 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
5756simprd 114 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
58 eluznn 9614 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5923, 17, 58syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
6057, 59ffvelcdmd 5665 . . . . . 6 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℕ)
6160nnzd 9388 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ)
6257, 23ffvelcdmd 5665 . . . . 5 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ)
63 znq 9638 . . . . 5 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℕ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ)
65 pcz 12345 . . . 4 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℚ → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
6664, 65syl 14 . . 3 (𝜑 → (((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)))))
6755, 66mpbird 167 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ)
6862nnzd 9388 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ)
6962nnne0d 8978 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
70 dvdsval2 11811 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0 ∧ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ∈ ℤ) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
7168, 69, 61, 70syl3anc 1248 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀) ↔ ((seq1( · , 𝐹)‘𝑀) / (seq1( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℤ))
7267, 71mpbird 167 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) ∥ (seq1( · , 𝐹)‘𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1363  wcel 2158  wne 2357  wral 2465  csb 3069  ifcif 3546   class class class wbr 4015  cmpt 4076  wf 5224  cfv 5228  (class class class)co 5888  0cc0 7825  1c1 7826   · cmul 7830  cle 8007   / cdiv 8643  cn 8933  0cn0 9190  cz 9267  cuz 9542  cq 9633  seqcseq 10459  cexp 10533  cdvds 11808  cprime 12121   pCnt cpc 12298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-er 6549  df-en 6755  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-xnn0 9254  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-prm 12122  df-pc 12299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator