ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcmptdvds GIF version
Theorem pcmptdvds 12363
Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
pcmpt.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
pcmptdvds.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
pcmptdvds (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€))
Proof of Theorem pcmptdvds
Dummy variables π‘š 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
2 nfv 1539 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š 𝐴 ∈ β„•0
3 nfcsb1v 3105 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄
43nfel1 2343 . . . . . . . . . 10 β„²π‘›β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0
5 csbeq1a 3081 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ 𝐴 = β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄)
65eleq1d 2258 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐴 ∈ β„•0 ↔ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0))
72, 4, 6cbvralw 2712 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0 ↔ βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
81, 7sylib 122 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
9 csbeq1 3075 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑝 β†’ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ = ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄)
109eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑝 β†’ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0 ↔ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0))
1110rspcv 2852 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0 β†’ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0))
128, 11mpan9 281 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
1312nn0ge0d 9252 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄)
14 0le0 9028 . . . . . . 7 0 ≀ 0
1514a1i 9 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ 0)
16 prmz 12131 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
17 pcmptdvds.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
18 eluzelz 9557 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2019adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21 zdcle 9349 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑀)
2216, 20, 21syl2an2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑀)
23 pcmpt.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2423adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2524nnzd 9394 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
26 zdcle 9349 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑁)
2716, 25, 26syl2an2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑁)
28 dcn 843 . . . . . . . 8 (DECID 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ DECID Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)
30 dcan2 936 . . . . . . 7 (DECID 𝑝 ≀ 𝑀 β†’ (DECID Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ DECID (𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)))
3122, 29, 30sylc 62 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID (𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁))
32 breq2 4022 . . . . . . 7 (⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ = if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0) β†’ (0 ≀ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ↔ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0)))
33 breq2 4022 . . . . . . 7 (0 = if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0) β†’ (0 ≀ 0 ↔ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0)))
3432, 33ifbothdc 3582 . . . . . 6 ((0 ≀ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∧ 0 ≀ 0 ∧ DECID (𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0))
3513, 15, 31, 34syl3anc 1249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0))
36 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
37 nfcv 2332 . . . . . . . 8 β„²π‘šif(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1)
38 nfv 1539 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛 π‘š ∈ β„™
39 nfcv 2332 . . . . . . . . . 10 β„²π‘›π‘š
40 nfcv 2332 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛↑
4139, 40, 3nfov 5922 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄)
42 nfcv 2332 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛1
4338, 41, 42nfif 3577 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1)
44 eleq1w 2250 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘š ∈ β„™))
45 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ 𝑛 = π‘š)
4645, 5oveq12d 5910 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛↑𝐴) = (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄))
4744, 46ifbieq1d 3571 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1))
4837, 43, 47cbvmpt 4113 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1))
4936, 48eqtri 2210 . . . . . 6 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1))
508adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
51 simpr 110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
5217adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5349, 50, 24, 51, 9, 52pcmpt2 12362 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0))
5435, 53breqtrrd 4046 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
5554ralrimiva 2563 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ β„™ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
5636, 1pcmptcl 12360 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
5756simprd 114 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
58 eluznn 9620 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5923, 17, 58syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6057, 59ffvelcdmd 5669 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„•)
6160nnzd 9394 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€)
6257, 23ffvelcdmd 5669 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•)
63 znq 9644 . . . . 5 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„š)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„š)
65 pcz 12351 . . . 4 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„š β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€ ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))))
6664, 65syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€ ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))))
6755, 66mpbird 167 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€)
6862nnzd 9394 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„€)
6962nnne0d 8984 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) β‰  0)
70 dvdsval2 11817 . . 3 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„€ ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) β‰  0 ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€))
7168, 69, 61, 70syl3anc 1249 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€))
7267, 71mpbird 167 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   β‰  wne 2360  βˆ€wral 2468  β¦‹csb 3072  ifcif 3549   class class class wbr 4018   ↦ cmpt 4079  βŸΆwf 5228  β€˜cfv 5232  (class class class)co 5892  0cc0 7831  1c1 7832   Β· cmul 7836   ≀ cle 8013   / cdiv 8649  β„•cn 8939  β„•0cn0 9196  β„€cz 9273  β„€β‰₯cuz 9548  β„šcq 9639  seqcseq 10465  β†‘cexp 10539   βˆ₯ cdvds 11814  β„™cprime 12127   pCnt cpc 12304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-1o 6436  df-2o 6437  df-er 6554  df-en 6760  df-fin 6762  df-sup 7003  df-inf 7004  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-xnn0 9260  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-fz 10029  df-fzo 10163  df-fl 10290  df-mod 10343  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-dvds 11815  df-gcd 11964  df-prm 12128  df-pc 12305
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator