ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pcmptdvds GIF version
Theorem pcmptdvds 12343
Description: The partial products of the prime power map form a divisibility chain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
pcmpt.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
pcmpt.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
pcmptdvds.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
pcmptdvds (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€))
Proof of Theorem pcmptdvds
Dummy variables π‘š 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0)
2 nfv 1528 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š 𝐴 ∈ β„•0
3 nfcsb1v 3091 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄
43nfel1 2330 . . . . . . . . . 10 β„²π‘›β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0
5 csbeq1a 3067 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ 𝐴 = β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄)
65eleq1d 2246 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐴 ∈ β„•0 ↔ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0))
72, 4, 6cbvralw 2699 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„™ 𝐴 ∈ β„•0 ↔ βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
81, 7sylib 122 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
9 csbeq1 3061 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑝 β†’ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ = ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄)
109eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑝 β†’ (β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0 ↔ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0))
1110rspcv 2838 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ (βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0 β†’ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0))
128, 11mpan9 281 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
1312nn0ge0d 9232 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄)
14 0le0 9008 . . . . . . 7 0 ≀ 0
1514a1i 9 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ 0)
16 prmz 12111 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
17 pcmptdvds.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
18 eluzelz 9537 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
2019adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21 zdcle 9329 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑀)
2216, 20, 21syl2an2 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑀)
23 pcmpt.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2423adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2524nnzd 9374 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
26 zdcle 9329 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑁)
2716, 25, 26syl2an2 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID 𝑝 ≀ 𝑁)
28 dcn 842 . . . . . . . 8 (DECID 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ DECID Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)
30 dcan2 934 . . . . . . 7 (DECID 𝑝 ≀ 𝑀 β†’ (DECID Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁 β†’ DECID (𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)))
3122, 29, 30sylc 62 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ DECID (𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁))
32 breq2 4008 . . . . . . 7 (⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ = if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0) β†’ (0 ≀ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ↔ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0)))
33 breq2 4008 . . . . . . 7 (0 = if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0) β†’ (0 ≀ 0 ↔ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0)))
3432, 33ifbothdc 3568 . . . . . 6 ((0 ≀ ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄ ∧ 0 ≀ 0 ∧ DECID (𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0))
3513, 15, 31, 34syl3anc 1238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0))
36 pcmpt.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1))
37 nfcv 2319 . . . . . . . 8 β„²π‘šif(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1)
38 nfv 1528 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛 π‘š ∈ β„™
39 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 β„²π‘›π‘š
40 nfcv 2319 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛↑
4139, 40, 3nfov 5905 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄)
42 nfcv 2319 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛1
4338, 41, 42nfif 3563 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1)
44 eleq1w 2238 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 ∈ β„™ ↔ π‘š ∈ β„™))
45 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ 𝑛 = π‘š)
4645, 5oveq12d 5893 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛↑𝐴) = (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄))
4744, 46ifbieq1d 3557 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1) = if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1))
4837, 43, 47cbvmpt 4099 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑𝐴), 1)) = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1))
4936, 48eqtri 2198 . . . . . 6 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ if(π‘š ∈ β„™, (π‘šβ†‘β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄), 1))
508adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘š ∈ β„™ β¦‹π‘š / π‘›β¦Œπ΄ ∈ β„•0)
51 simpr 110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
5217adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
5349, 50, 24, 51, 9, 52pcmpt2 12342 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))) = if((𝑝 ≀ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑁), ⦋𝑝 / π‘›β¦Œπ΄, 0))
5435, 53breqtrrd 4032 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
5554ralrimiva 2550 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ β„™ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘))))
5636, 1pcmptcl 12340 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
5756simprd 114 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
58 eluznn 9600 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5923, 17, 58syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
6057, 59ffvelcdmd 5653 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„•)
6160nnzd 9374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€)
6257, 23ffvelcdmd 5653 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•)
63 znq 9624 . . . . 5 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€ ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„•) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„š)
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„š)
65 pcz 12331 . . . 4 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„š β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€ ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))))
6664, 65syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€ ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ 0 ≀ (𝑝 pCnt ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))))
6755, 66mpbird 167 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€)
6862nnzd 9374 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„€)
6962nnne0d 8964 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) β‰  0)
70 dvdsval2 11797 . . 3 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„€ ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) β‰  0 ∧ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ∈ β„€) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€))
7168, 69, 61, 70syl3anc 1238 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) ↔ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€) / (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„€))
7267, 71mpbird 167 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘) βˆ₯ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜π‘€))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347  βˆ€wral 2455  β¦‹csb 3058  ifcif 3535   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  0cc0 7811  1c1 7812   Β· cmul 7816   ≀ cle 7993   / cdiv 8629  β„•cn 8919  β„•0cn0 9176  β„€cz 9253  β„€β‰₯cuz 9528  β„šcq 9619  seqcseq 10445  β†‘cexp 10519   βˆ₯ cdvds 11794  β„™cprime 12107   pCnt cpc 12284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-en 6741  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-xnn0 9240  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-prm 12108  df-pc 12285
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator