ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nfcprod1 GIF version

Theorem nfcprod1 11517
Description: Bound-variable hypothesis builder for product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
nfcprod1.1 𝑘𝐴
Assertion
Ref Expression
nfcprod1 𝑘𝑘𝐴 𝐵
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem nfcprod1
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-proddc 11514 . 2 𝑘𝐴 𝐵 = (℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴) ∧ (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)))‘𝑚))))
2 nfcv 2312 . . . . 5 𝑘
3 nfcprod1.1 . . . . . . . 8 𝑘𝐴
4 nfcv 2312 . . . . . . . 8 𝑘(ℤ𝑚)
53, 4nfss 3140 . . . . . . 7 𝑘 𝐴 ⊆ (ℤ𝑚)
63nfcri 2306 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑗𝐴
76nfdc 1652 . . . . . . . 8 𝑘DECID 𝑗𝐴
84, 7nfralxy 2508 . . . . . . 7 𝑘𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴
95, 8nfan 1558 . . . . . 6 𝑘(𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴)
10 nfv 1521 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑦 # 0
11 nfcv 2312 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑛
12 nfcv 2312 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ·
13 nfmpt1 4082 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
1411, 12, 13nfseq 10411 . . . . . . . . . . 11 𝑘seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))
15 nfcv 2312 . . . . . . . . . . 11 𝑘
16 nfcv 2312 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑦
1714, 15, 16nfbr 4035 . . . . . . . . . 10 𝑘seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦
1810, 17nfan 1558 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
1918nfex 1630 . . . . . . . 8 𝑘𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
204, 19nfrexxy 2509 . . . . . . 7 𝑘𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦)
21 nfcv 2312 . . . . . . . . 9 𝑘𝑚
2221, 12, 13nfseq 10411 . . . . . . . 8 𝑘seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1)))
23 nfcv 2312 . . . . . . . 8 𝑘𝑥
2422, 15, 23nfbr 4035 . . . . . . 7 𝑘seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥
2520, 24nfan 1558 . . . . . 6 𝑘(∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)
269, 25nfan 1558 . . . . 5 𝑘((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴) ∧ (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥))
272, 26nfrexxy 2509 . . . 4 𝑘𝑚 ∈ ℤ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴) ∧ (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥))
28 nfcv 2312 . . . . 5 𝑘
29 nfcv 2312 . . . . . . . 8 𝑘𝑓
30 nfcv 2312 . . . . . . . 8 𝑘(1...𝑚)
3129, 30, 3nff1o 5440 . . . . . . 7 𝑘 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴
32 nfcv 2312 . . . . . . . . . 10 𝑘1
33 nfv 1521 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 𝑛𝑚
34 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑓𝑛) / 𝑘𝐵
3533, 34, 32nfif 3554 . . . . . . . . . . 11 𝑘if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)
3628, 35nfmpt 4081 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1))
3732, 12, 36nfseq 10411 . . . . . . . . 9 𝑘seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)))
3837, 21nffv 5506 . . . . . . . 8 𝑘(seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)))‘𝑚)
3938nfeq2 2324 . . . . . . 7 𝑘 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)))‘𝑚)
4031, 39nfan 1558 . . . . . 6 𝑘(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)))‘𝑚))
4140nfex 1630 . . . . 5 𝑘𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)))‘𝑚))
4228, 41nfrexxy 2509 . . . 4 𝑘𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)))‘𝑚))
4327, 42nfor 1567 . . 3 𝑘(∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴) ∧ (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)))‘𝑚)))
4443nfiotaw 5164 . 2 𝑘(℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑚)DECID 𝑗𝐴) ∧ (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥)) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑚, (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵, 1)))‘𝑚))))
451, 44nfcxfr 2309 1 𝑘𝑘𝐴 𝐵
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  wex 1485  wcel 2141  wnfc 2299  wral 2448  wrex 2449  csb 3049  wss 3121  ifcif 3526   class class class wbr 3989  cmpt 4050  cio 5158  1-1-ontowf1o 5197  cfv 5198  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779  cle 7955   # cap 8500  cn 8878  cz 9212  cuz 9487  ...cfz 9965  seqcseq 10401  cli 11241  cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3527  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-recs 6284  df-frec 6370  df-seqfrec 10402  df-proddc 11514
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator