ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumrbdclem GIF version

Theorem sumrbdclem 11369
Description: Lemma for sumrbdc 11371. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
isumrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
sumrbdclem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem sumrbdclem
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addid2 8086 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
21adantl 277 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3 0cnd 7941 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
4 isumrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 276 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluzelz 9526 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
75, 6syl 14 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 isummo.dc . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑘𝐴)
9 exmiddc 836 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑘𝐴 → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
108, 9syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴))
11 iftrue 3539 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
1211adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
13 isummo.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1412, 13eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1514ex 115 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
16 iffalse 3542 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
17 0cn 7940 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
1816, 17eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1918a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
2015, 19jaod 717 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
2120adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘𝐴 ∨ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
2210, 21mpd 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2322ralrimiva 2550 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
24 nfv 1528 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑁𝐴
25 nfcsb1v 3090 . . . . . . . . 9 𝑘𝑁 / 𝑘𝐵
26 nfcv 2319 . . . . . . . . 9 𝑘0
2724, 25, 26nfif 3562 . . . . . . . 8 𝑘if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0)
2827nfel1 2330 . . . . . . 7 𝑘if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ
29 eleq1 2240 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝐴𝑁𝐴))
30 csbeq1a 3066 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁𝐵 = 𝑁 / 𝑘𝐵)
3129, 30ifbieq1d 3556 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0))
3231eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
3328, 32rspc 2835 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
344, 23, 33sylc 62 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
3534adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
36 nfcv 2319 . . . . 5 𝑘𝑁
37 isummo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3836, 27, 31, 37fvmptf 5604 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0))
397, 35, 38syl2anc 411 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) = if(𝑁𝐴, 𝑁 / 𝑘𝐵, 0))
4039, 35eqeltrd 2254 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
41 elfzelz 10011 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
42 elfzuz 10007 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4342adantl 277 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4423ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
45 nfv 1528 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛𝐴
46 nfcsb1v 3090 . . . . . . . 8 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
4745, 46, 26nfif 3562 . . . . . . 7 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0)
4847nfel1 2330 . . . . . 6 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ
49 eleq1 2240 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
50 csbeq1a 3066 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
5149, 50ifbieq1d 3556 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
5251eleq1d 2246 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
5348, 52rspc 2835 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
5443, 44, 53sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
55 nfcv 2319 . . . . 5 𝑘𝑛
5655, 47, 51, 37fvmptf 5604 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
5741, 54, 56syl2an2 594 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
58 uznfz 10089 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5958con2i 627 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
6059adantl 277 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
61 ssel 3149 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑁) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
6261ad2antlr 489 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (ℤ𝑁)))
6360, 62mtod 663 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
6463iffalsed 3544 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) = 0)
6557, 64eqtrd 2210 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 0)
66 eluzelz 9526 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
67 simpr 110 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
6823ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
6967, 68, 53sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
7066, 69, 56syl2an2 594 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
7170, 69eqeltrd 2254 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
72 addcl 7927 . . 3 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
7372adantl 277 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
742, 3, 5, 40, 65, 71, 73seq3id 10494 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  csb 3057  wss 3129  ifcif 3534  cmpt 4061  cres 4625  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805  cmin 8118  cz 9242  cuz 9517  ...cfz 9995  seqcseq 10431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432
This theorem is referenced by:  sumrbdc  11371
  Copyright terms: Public domain W3C validator