Theorem sumrbdclem 11353

Description: Lemma for sumrbdc 11355. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
isumrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sumrbdclem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem sumrbdclem

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addid2 8070	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3		0cnd 7925	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
4		isumrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzelz 9510	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		isummo.dc	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
9		exmiddc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
11		iftrue 3537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
13		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
16		iffalse 3540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
17		0cn 7924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	16, 17	eqeltrdi 2266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
20	15, 19	jaod 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
23	22	ralrimiva 2548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
24		nfv 1526	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑁 ∈ 𝐴
25		nfcsb1v 3088	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵
26		nfcv 2317	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘0
27	24, 25, 26	nfif 3560	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0)
28	27	nfel1 2328	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ
29		eleq1 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
30		csbeq1a 3064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵)
31	29, 30	ifbieq1d 3554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
32	31	eleq1d 2244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
33	28, 32	rspc 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
34	4, 23, 33	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
36		nfcv 2317	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑁
37		isummo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
38	36, 27, 31, 37	fvmptf 5600	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
39	7, 35, 38	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
40	39, 35	eqeltrd 2252	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
41		elfzelz 9995	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
42		elfzuz 9991	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
43	42	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
44	23	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
45		nfv 1526	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ 𝐴
46		nfcsb1v 3088	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵
47	45, 46, 26	nfif 3560	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0)
48	47	nfel1 2328	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ
49		eleq1 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
50		csbeq1a 3064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝐵 = ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵)
51	49, 50	ifbieq1d 3554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
52	51	eleq1d 2244	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
53	48, 52	rspc 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
55		nfcv 2317	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5600	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
57	41, 54, 56	syl2an2 594	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
58		uznfz 10073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
59	58	con2i 627	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
60	59	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
61		ssel 3147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
62	61	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
63	60, 62	mtod 663	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ 𝐴)
64	63	iffalsed 3542	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) = 0)
65	57, 64	eqtrd 2208	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = 0)
66		eluzelz 9510	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
67		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
68	23	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
70	66, 69, 56	syl2an2 594	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
71	70, 69	eqeltrd 2252	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
72		addcl 7911	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
73	72	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10478	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∀wral 2453  ⦋csb 3055   ⊆ wss 3127  ifcif 3532   ↦ cmpt 4059   ↾ cres 4622  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   − cmin 8102  ℤcz 9226  ℤ_≥cuz 9501  ...cfz 9979  seqcseq 10415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-seqfrec 10416

This theorem is referenced by:  sumrbdc  11355