Theorem sumrbdclem 11883

Description: Lemma for sumrbdc 11885. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
isumrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sumrbdclem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem sumrbdclem

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlid 8281	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3		0cnd 8135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
4		isumrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzelz 9727	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		isummo.dc	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
9		exmiddc 841	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
11		iftrue 3607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
13		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
16		iffalse 3610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
17		0cn 8134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	16, 17	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
20	15, 19	jaod 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
23	22	ralrimiva 2603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
24		nfv 1574	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑁 ∈ 𝐴
25		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵
26		nfcv 2372	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘0
27	24, 25, 26	nfif 3631	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0)
28	27	nfel1 2383	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ
29		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
30		csbeq1a 3133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵)
31	29, 30	ifbieq1d 3625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
32	31	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
33	28, 32	rspc 2901	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
34	4, 23, 33	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
36		nfcv 2372	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑁
37		isummo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
38	36, 27, 31, 37	fvmptf 5726	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
39	7, 35, 38	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
40	39, 35	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
41		elfzelz 10217	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
42		elfzuz 10213	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
43	42	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
44	23	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
45		nfv 1574	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ 𝐴
46		nfcsb1v 3157	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵
47	45, 46, 26	nfif 3631	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0)
48	47	nfel1 2383	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ
49		eleq1 2292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
50		csbeq1a 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝐵 = ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵)
51	49, 50	ifbieq1d 3625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
52	51	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
53	48, 52	rspc 2901	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
55		nfcv 2372	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5726	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
57	41, 54, 56	syl2an2 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
58		uznfz 10295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
59	58	con2i 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
60	59	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
61		ssel 3218	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
62	61	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
63	60, 62	mtod 667	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ 𝐴)
64	63	iffalsed 3612	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) = 0)
65	57, 64	eqtrd 2262	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = 0)
66		eluzelz 9727	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
67		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
68	23	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
70	66, 69, 56	syl2an2 596	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
71	70, 69	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
72		addcl 8120	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
73	72	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10742	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ⦋csb 3124   ⊆ wss 3197  ifcif 3602   ↦ cmpt 4144   ↾ cres 4720  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   − cmin 8313  ℤcz 9442  ℤ_≥cuz 9718  ...cfz 10200  seqcseq 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665

This theorem is referenced by:  sumrbdc  11885