Theorem sumrbdclem 12122

Description: Lemma for sumrbdc 12124. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
isummo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
isummo.dc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
isumrb.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
sumrbdclem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem sumrbdclem

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addlid 8455	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3		0cnd 8309	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
4		isumrb.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		eluzelz 9910	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		isummo.dc	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → DECID 𝑘 ∈ 𝐴)
9		exmiddc 848	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
11		iftrue 3642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
13		isummo.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
15	14	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
16		iffalse 3645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
17		0cn 8308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
18	16, 17	eqeltrdi 2329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
20	15, 19	jaod 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ∨ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
22	10, 21	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
23	22	ralrimiva 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
24		nfv 1581	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑁 ∈ 𝐴
25		nfcsb1v 3180	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵
26		nfcv 2392	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘0
27	24, 25, 26	nfif 3666	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0)
28	27	nfel1 2403	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ
29		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑁 ∈ 𝐴))
30		csbeq1a 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐵 = ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵)
31	29, 30	ifbieq1d 3660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
32	31	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
33	28, 32	rspc 2923	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
34	4, 23, 33	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
35	34	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
36		nfcv 2392	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑁
37		isummo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
38	36, 27, 31, 37	fvmptf 5792	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
39	7, 35, 38	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) = if(𝑁 ∈ 𝐴, ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐵, 0))
40	39, 35	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
41		elfzelz 10407	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
42		elfzuz 10403	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
43	42	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
44	23	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
45		nfv 1581	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ 𝐴
46		nfcsb1v 3180	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵
47	45, 46, 26	nfif 3666	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0)
48	47	nfel1 2403	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ
49		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐴))
50		csbeq1a 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → 𝐵 = ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵)
51	49, 50	ifbieq1d 3660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
52	51	eleq1d 2307	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
53	48, 52	rspc 2923	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ))
54	43, 44, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
55		nfcv 2392	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑛
56	55, 47, 51, 37	fvmptf 5792	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
57	41, 54, 56	syl2an2 602	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
58		uznfz 10488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
59	58	con2i 636	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
60	59	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
61		ssel 3242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
62	61	ad2antlr 493	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 ∈ 𝐴 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
63	60, 62	mtod 673	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ 𝐴)
64	63	iffalsed 3647	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) = 0)
65	57, 64	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) = 0)
66		eluzelz 9910	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
67		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
68	23	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
69	67, 68, 53	sylc 62	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0) ∈ ℂ)
70	66, 69, 56	syl2an2 602	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = if(𝑛 ∈ 𝐴, ⦋𝑛 / 𝑘⦌𝐵, 0))
71	70, 69	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
72		addcl 8294	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
73	72	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑛 + 𝑧) ∈ ℂ)
74	2, 3, 5, 40, 65, 71, 73	seq3id 10940	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ⦋csb 3147   ⊆ wss 3220  ifcif 3635   ↦ cmpt 4187   ↾ cres 4771  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   − cmin 8487  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390  seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  sumrbdc  12124