Theorem nfop 3774

Description: Bound-variable hypothesis builder for ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfop.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfop.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfop	⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Proof of Theorem nfop

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3585	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {𝑦 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})}
2		nfop.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	nfel1 2319	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ V
4		nfop.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	4	nfel1 2319	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ V
6	2	nfsn 3636	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴}
7	2, 4	nfpr 3626	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴, 𝐵}
8	6, 7	nfpr 3626	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
9	8	nfcri 2302	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
10	3, 5, 9	nf3an 1554	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
11	10	nfab 2313	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑦 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})}
12	1, 11	nfcxfr 2305	1 ⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Syntax hints:   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136  {cab 2151  Ⅎwnfc 2295  Vcvv 2726  {csn 3576  {cpr 3577  ⟨cop 3579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585

This theorem is referenced by:  nfopd  3775  moop2  4229  fliftfuns  5766  dfmpo  6191  qliftfuns  6585  xpf1o  6810  caucvgprprlemaddq  7649  nfseq  10390  txcnp  12911  cnmpt1t  12925  cnmpt2t  12933