Theorem nnsucpred 4721

Description: The successor of the precedessor of a nonzero natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucpred	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem nnsucpred

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsuc 4720	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
2		nnon 4714	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3	2	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 ∈ On)
4		simprr 533	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 = suc 𝑥)
5		onsucuni2 4668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
7	1, 6	rexlimddv 2656	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∅c0 3496  ∪ cuni 3898  Oncon0 4466  suc csuc 4468  ωcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-tr 4193  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695

This theorem is referenced by:  nnpredlt  4728  omp1eomlem  7336  nnnninfeq2  7371  nnsf  16714