ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsucpred GIF version

Theorem nnsucpred 4530
Description: The successor of the precedessor of a nonzero natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnsucpred ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem nnsucpred
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsuc 4529 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
2 nnon 4523 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
32ad2antrr 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 ∈ On)
4 simprr 521 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 = suc 𝑥)
5 onsucuni2 4479 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → suc 𝐴 = 𝐴)
63, 4, 5syl2anc 408 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → suc 𝐴 = 𝐴)
71, 6rexlimddv 2554 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc 𝐴 = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  c0 3363   cuni 3736  Oncon0 4285  suc csuc 4287  ωcom 4504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505
This theorem is referenced by:  omp1eomlem  6979  nnsf  13260
  Copyright terms: Public domain W3C validator