Theorem nnsucpred 4739

Description: The successor of the precedessor of a nonzero natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucpred	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem nnsucpred

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsuc 4738	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
2		nnon 4732	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3	2	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 ∈ On)
4		simprr 533	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 = suc 𝑥)
5		onsucuni2 4686	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
7	1, 6	rexlimddv 2665	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∅c0 3508  ∪ cuni 3914  Oncon0 4484  suc csuc 4486  ωcom 4712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-tr 4209  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713

This theorem is referenced by:  nnpredlt  4746  omp1eomlem  7385  nnnninfeq2  7420  nnsf  16783