Theorem nnsucpred 4653

Description: The successor of the precedessor of a nonzero natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucpred	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem nnsucpred

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsuc 4652	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
2		nnon 4646	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3	2	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 ∈ On)
4		simprr 531	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 = suc 𝑥)
5		onsucuni2 4600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
7	1, 6	rexlimddv 2619	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∅c0 3450  ∪ cuni 3839  Oncon0 4398  suc csuc 4400  ωcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-tr 4132  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627

This theorem is referenced by:  nnpredlt  4660  omp1eomlem  7160  nnnninfeq2  7195  nnsf  15649