Theorem nnsucpred 4715

Description: The successor of the precedessor of a nonzero natural number. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucpred	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem nnsucpred

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsuc 4714	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
2		nnon 4708	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3	2	ad2antrr 488	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 ∈ On)
4		simprr 533	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → 𝐴 = suc 𝑥)
5		onsucuni2 4662	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 = suc 𝑥) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = suc 𝑥)) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)
7	1, 6	rexlimddv 2655	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → suc ∪ 𝐴 = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∅c0 3494  ∪ cuni 3893  Oncon0 4460  suc csuc 4462  ωcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689

This theorem is referenced by:  nnpredlt  4722  omp1eomlem  7292  nnnninfeq2  7327  nnsf  16607