Theorem nninfisollemne 7190

Description: Lemma for nninfisol 7192. A case where 𝑁 is a successor and 𝑁 and 𝑋 are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
nninfisol.0	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
nninfisol.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nninfisollemne.s	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ ∅)
nninfisollemne.0	⊢ (𝜑 → (𝑋‘∪ 𝑁) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemne	⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem nninfisollemne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisollemne.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘∪ 𝑁) = ∅)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → (𝑋‘∪ 𝑁) = ∅)
3		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
4	3	fveq1d 5556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘∪ 𝑁) = (𝑋‘∪ 𝑁))
5		eqid 2193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
6		eleq1 2256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ∪ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↔ ∪ 𝑁 ∈ 𝑁))
7	6	ifbid 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ∪ 𝑁 → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(∪ 𝑁 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
8		nninfisol.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
9		nnpredcl 4655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ∪ 𝑁 ∈ ω)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑁 ∈ ω)
11		nninfisollemne.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ ∅)
12		nnpredlt 4656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∪ 𝑁 ∈ 𝑁)
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑁 ∈ 𝑁)
14	13	iftrued 3564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → if(∪ 𝑁 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = 1o)
15		1lt2o 6495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ 2o
16	14, 15	eqeltrdi 2284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(∪ 𝑁 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
17	5, 7, 10, 16	fvmptd3 5651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘∪ 𝑁) = if(∪ 𝑁 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
18	17, 14	eqtrd 2226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘∪ 𝑁) = 1o)
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘∪ 𝑁) = 1o)
20	4, 19	eqtr3d 2228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → (𝑋‘∪ 𝑁) = 1o)
21		1n0 6485	. . . . . 6 ⊢ 1o ≠ ∅
22		pm13.181 2446	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋‘∪ 𝑁) = 1o ∧ 1o ≠ ∅) → (𝑋‘∪ 𝑁) ≠ ∅)
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → (𝑋‘∪ 𝑁) ≠ ∅)
24	23	neneqd 2385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → ¬ (𝑋‘∪ 𝑁) = ∅)
25	2, 24	pm2.65da 662	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
26	25	olcd 735	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
27		df-dc 836	. 2 ⊢ (DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
28	26, 27	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∅c0 3446  ifcif 3557  ∪ cuni 3835   ↦ cmpt 4090  ωcom 4622  ‘cfv 5254  1_oc1o 6462  2_oc2o 6463  ℕ_∞xnninf 7178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-1o 6469  df-2o 6470

This theorem is referenced by:  nninfisol  7192