Theorem nninfisollemne 7197

Description: Lemma for nninfisol 7199. A case where 𝑁 is a successor and 𝑁 and 𝑋 are not equal. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ∞)
nninfisol.0	⊢ (𝜑 → (𝑋‘𝑁) = ∅)
nninfisol.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
nninfisollemne.s	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ ∅)
nninfisollemne.0	⊢ (𝜑 → (𝑋‘∪ 𝑁) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
nninfisollemne	⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Distinct variable group:   𝑖,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem nninfisollemne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisollemne.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘∪ 𝑁) = ∅)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → (𝑋‘∪ 𝑁) = ∅)
3		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
4	3	fveq1d 5560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘∪ 𝑁) = (𝑋‘∪ 𝑁))
5		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
6		eleq1 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = ∪ 𝑁 → (𝑖 ∈ 𝑁 ↔ ∪ 𝑁 ∈ 𝑁))
7	6	ifbid 3582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ∪ 𝑁 → if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = if(∪ 𝑁 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
8		nninfisol.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω)
9		nnpredcl 4659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ω → ∪ 𝑁 ∈ ω)
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑁 ∈ ω)
11		nninfisollemne.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ ∅)
12		nnpredlt 4660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∪ 𝑁 ∈ 𝑁)
13	8, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑁 ∈ 𝑁)
14	13	iftrued 3568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → if(∪ 𝑁 ∈ 𝑁, 1o, ∅) = 1o)
15		1lt2o 6500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ 2o
16	14, 15	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → if(∪ 𝑁 ∈ 𝑁, 1o, ∅) ∈ 2o)
17	5, 7, 10, 16	fvmptd3 5655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘∪ 𝑁) = if(∪ 𝑁 ∈ 𝑁, 1o, ∅))
18	17, 14	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘∪ 𝑁) = 1o)
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅))‘∪ 𝑁) = 1o)
20	4, 19	eqtr3d 2231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → (𝑋‘∪ 𝑁) = 1o)
21		1n0 6490	. . . . . 6 ⊢ 1o ≠ ∅
22		pm13.181 2449	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋‘∪ 𝑁) = 1o ∧ 1o ≠ ∅) → (𝑋‘∪ 𝑁) ≠ ∅)
23	20, 21, 22	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → (𝑋‘∪ 𝑁) ≠ ∅)
24	23	neneqd 2388	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋) → ¬ (𝑋‘∪ 𝑁) = ∅)
25	2, 24	pm2.65da 662	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)
26	25	olcd 735	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
27		df-dc 836	. 2 ⊢ (DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ↔ ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋 ∨ ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋))
28	26, 27	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → DECID (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑁, 1o, ∅)) = 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∅c0 3450  ifcif 3561  ∪ cuni 3839   ↦ cmpt 4094  ωcom 4626  ‘cfv 5258  1_oc1o 6467  2_oc2o 6468  ℕ_∞xnninf 7185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-1o 6474  df-2o 6475

This theorem is referenced by:  nninfisol  7199