ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcnre GIF version

Theorem axcnre 7871
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 7913. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 7808 . 2 ℂ = (R × R)
2 eqeq1 2184 . . 3 (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐴 → (⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
322rexbidv 2502 . 2 (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
4 opelreal 7817 . . . . . 6 (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑧R)
5 opelreal 7817 . . . . . 6 (⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑤R)
64, 5anbi12i 460 . . . . 5 ((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ↔ (𝑧R𝑤R))
76biimpri 133 . . . 4 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ))
8 df-i 7811 . . . . . . . . 9 i = ⟨0R, 1R
98oveq1i 5879 . . . . . . . 8 (i · ⟨𝑤, 0R⟩) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩)
10 0r 7740 . . . . . . . . . 10 0RR
11 1sr 7741 . . . . . . . . . . 11 1RR
12 mulcnsr 7825 . . . . . . . . . . 11 (((0RR ∧ 1RR) ∧ (𝑤R ∧ 0RR)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
1310, 11, 12mpanl12 436 . . . . . . . . . 10 ((𝑤R ∧ 0RR) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
1410, 13mpan2 425 . . . . . . . . 9 (𝑤R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
15 mulcomsrg 7747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0RR𝑤R) → (0R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 0R))
1610, 15mpan 424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (0R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 0R))
17 00sr 7759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (𝑤 ·R 0R) = 0R)
1816, 17eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (0R ·R 𝑤) = 0R)
1918oveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → ((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))))
20 00sr 7759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1RR → (1R ·R 0R) = 0R)
2111, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1R ·R 0R) = 0R
2221oveq2i 5880 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
23 m1r 7742 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1RR
24 00sr 7759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1RR → (-1R ·R 0R) = 0R)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R 0R) = 0R
2622, 25eqtri 2198 . . . . . . . . . . . . 13 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = 0R
2726oveq2i 5880 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R 0R)
28 0idsr 7757 . . . . . . . . . . . . 13 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
2910, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R 0R) = 0R
3027, 29eqtri 2198 . . . . . . . . . . 11 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R
3119, 30eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 (𝑤R → ((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R)
32 mulcomsrg 7747 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1RR𝑤R) → (1R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 1R))
3311, 32mpan 424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (1R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 1R))
34 1idsr 7758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (𝑤 ·R 1R) = 𝑤)
3533, 34eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (1R ·R 𝑤) = 𝑤)
3635oveq1d 5884 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R)) = (𝑤 +R (0R ·R 0R)))
37 00sr 7759 . . . . . . . . . . . . . 14 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
3810, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0R ·R 0R) = 0R
3938oveq2i 5880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 +R (0R ·R 0R)) = (𝑤 +R 0R)
40 0idsr 7757 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (𝑤 +R 0R) = 𝑤)
4139, 40eqtrid 2222 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → (𝑤 +R (0R ·R 0R)) = 𝑤)
4236, 41eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (𝑤R → ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R)) = 𝑤)
4331, 42opeq12d 3784 . . . . . . . . 9 (𝑤R → ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩ = ⟨0R, 𝑤⟩)
4414, 43eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (𝑤R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨0R, 𝑤⟩)
459, 44eqtrid 2222 . . . . . . 7 (𝑤R → (i · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨0R, 𝑤⟩)
4645oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑤R → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩))
4746adantl 277 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩))
48 addcnsr 7824 . . . . . . 7 (((𝑧R ∧ 0RR) ∧ (0RR𝑤R)) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
4910, 48mpanl2 435 . . . . . 6 ((𝑧R ∧ (0RR𝑤R)) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
5010, 49mpanr1 437 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
51 0idsr 7757 . . . . . 6 (𝑧R → (𝑧 +R 0R) = 𝑧)
52 addcomsrg 7745 . . . . . . . 8 ((0RR𝑤R) → (0R +R 𝑤) = (𝑤 +R 0R))
5310, 52mpan 424 . . . . . . 7 (𝑤R → (0R +R 𝑤) = (𝑤 +R 0R))
5453, 40eqtrd 2210 . . . . . 6 (𝑤R → (0R +R 𝑤) = 𝑤)
55 opeq12 3778 . . . . . 6 (((𝑧 +R 0R) = 𝑧 ∧ (0R +R 𝑤) = 𝑤) → ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩ = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
5651, 54, 55syl2an 289 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩ = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
5747, 50, 563eqtrrd 2215 . . . 4 ((𝑧R𝑤R) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
58 vex 2740 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
59 opexg 4225 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ V ∧ 0RR) → ⟨𝑧, 0R⟩ ∈ V)
6058, 10, 59mp2an 426 . . . . 5 𝑧, 0R⟩ ∈ V
61 vex 2740 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
62 opexg 4225 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ V ∧ 0RR) → ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ V)
6361, 10, 62mp2an 426 . . . . 5 𝑤, 0R⟩ ∈ V
64 eleq1 2240 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ))
65 eleq1 2240 . . . . . . 7 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (𝑦 ∈ ℝ ↔ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ))
6664, 65bi2anan9 606 . . . . . 6 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ)))
67 oveq1 5876 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · 𝑦)))
68 oveq2 5877 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (i · 𝑦) = (i · ⟨𝑤, 0R⟩))
6968oveq2d 5885 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
7067, 69sylan9eq 2230 . . . . . . 7 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
7170eqeq2d 2189 . . . . . 6 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩))))
7266, 71anbi12d 473 . . . . 5 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))) ↔ ((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))))
7360, 63, 72spc2ev 2833 . . . 4 (((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩))) → ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
747, 57, 73syl2anc 411 . . 3 ((𝑧R𝑤R) → ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
75 r2ex 2497 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
7674, 75sylibr 134 . 2 ((𝑧R𝑤R) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)))
771, 3, 76optocl 4699 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wrex 2456  Vcvv 2737  cop 3594  (class class class)co 5869  Rcnr 7287  0Rc0r 7288  1Rc1r 7289  -1Rcm1r 7290   +R cplr 7291   ·R cmr 7292  cc 7800  cr 7801  ici 7804   + caddc 7805   · cmul 7807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456  df-i1p 7457  df-iplp 7458  df-imp 7459  df-enr 7716  df-nr 7717  df-plr 7718  df-mr 7719  df-0r 7721  df-1r 7722  df-m1r 7723  df-c 7808  df-i 7811  df-r 7812  df-add 7813  df-mul 7814
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator