ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axcnre GIF version

Theorem axcnre 7653
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 7695. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 7590 . 2 ℂ = (R × R)
2 eqeq1 2122 . . 3 (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐴 → (⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
322rexbidv 2435 . 2 (⟨𝑧, 𝑤⟩ = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
4 opelreal 7599 . . . . . 6 (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑧R)
5 opelreal 7599 . . . . . 6 (⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝑤R)
64, 5anbi12i 453 . . . . 5 ((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ↔ (𝑧R𝑤R))
76biimpri 132 . . . 4 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ))
8 df-i 7593 . . . . . . . . 9 i = ⟨0R, 1R
98oveq1i 5750 . . . . . . . 8 (i · ⟨𝑤, 0R⟩) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩)
10 0r 7522 . . . . . . . . . 10 0RR
11 1sr 7523 . . . . . . . . . . 11 1RR
12 mulcnsr 7607 . . . . . . . . . . 11 (((0RR ∧ 1RR) ∧ (𝑤R ∧ 0RR)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
1310, 11, 12mpanl12 430 . . . . . . . . . 10 ((𝑤R ∧ 0RR) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
1410, 13mpan2 419 . . . . . . . . 9 (𝑤R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩)
15 mulcomsrg 7529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0RR𝑤R) → (0R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 0R))
1610, 15mpan 418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (0R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 0R))
17 00sr 7541 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (𝑤 ·R 0R) = 0R)
1816, 17eqtrd 2148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (0R ·R 𝑤) = 0R)
1918oveq1d 5755 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → ((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))))
20 00sr 7541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1RR → (1R ·R 0R) = 0R)
2111, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1R ·R 0R) = 0R
2221oveq2i 5751 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
23 m1r 7524 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1RR
24 00sr 7541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1RR → (-1R ·R 0R) = 0R)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ·R 0R) = 0R
2622, 25eqtri 2136 . . . . . . . . . . . . 13 (-1R ·R (1R ·R 0R)) = 0R
2726oveq2i 5751 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = (0R +R 0R)
28 0idsr 7539 . . . . . . . . . . . . 13 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
2910, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R 0R) = 0R
3027, 29eqtri 2136 . . . . . . . . . . 11 (0R +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R
3119, 30syl6eq 2164 . . . . . . . . . 10 (𝑤R → ((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))) = 0R)
32 mulcomsrg 7529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1RR𝑤R) → (1R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 1R))
3311, 32mpan 418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (1R ·R 𝑤) = (𝑤 ·R 1R))
34 1idsr 7540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤R → (𝑤 ·R 1R) = 𝑤)
3533, 34eqtrd 2148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (1R ·R 𝑤) = 𝑤)
3635oveq1d 5755 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R)) = (𝑤 +R (0R ·R 0R)))
37 00sr 7541 . . . . . . . . . . . . . 14 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
3810, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0R ·R 0R) = 0R
3938oveq2i 5751 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 +R (0R ·R 0R)) = (𝑤 +R 0R)
40 0idsr 7539 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤R → (𝑤 +R 0R) = 𝑤)
4139, 40syl5eq 2160 . . . . . . . . . . 11 (𝑤R → (𝑤 +R (0R ·R 0R)) = 𝑤)
4236, 41eqtrd 2148 . . . . . . . . . 10 (𝑤R → ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R)) = 𝑤)
4331, 42opeq12d 3681 . . . . . . . . 9 (𝑤R → ⟨((0R ·R 𝑤) +R (-1R ·R (1R ·R 0R))), ((1R ·R 𝑤) +R (0R ·R 0R))⟩ = ⟨0R, 𝑤⟩)
4414, 43eqtrd 2148 . . . . . . . 8 (𝑤R → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨0R, 𝑤⟩)
459, 44syl5eq 2160 . . . . . . 7 (𝑤R → (i · ⟨𝑤, 0R⟩) = ⟨0R, 𝑤⟩)
4645oveq2d 5756 . . . . . 6 (𝑤R → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩))
4746adantl 273 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩))
48 addcnsr 7606 . . . . . . 7 (((𝑧R ∧ 0RR) ∧ (0RR𝑤R)) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
4910, 48mpanl2 429 . . . . . 6 ((𝑧R ∧ (0RR𝑤R)) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
5010, 49mpanr1 431 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → (⟨𝑧, 0R⟩ + ⟨0R, 𝑤⟩) = ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩)
51 0idsr 7539 . . . . . 6 (𝑧R → (𝑧 +R 0R) = 𝑧)
52 addcomsrg 7527 . . . . . . . 8 ((0RR𝑤R) → (0R +R 𝑤) = (𝑤 +R 0R))
5310, 52mpan 418 . . . . . . 7 (𝑤R → (0R +R 𝑤) = (𝑤 +R 0R))
5453, 40eqtrd 2148 . . . . . 6 (𝑤R → (0R +R 𝑤) = 𝑤)
55 opeq12 3675 . . . . . 6 (((𝑧 +R 0R) = 𝑧 ∧ (0R +R 𝑤) = 𝑤) → ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩ = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
5651, 54, 55syl2an 285 . . . . 5 ((𝑧R𝑤R) → ⟨(𝑧 +R 0R), (0R +R 𝑤)⟩ = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
5747, 50, 563eqtrrd 2153 . . . 4 ((𝑧R𝑤R) → ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
58 vex 2661 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
59 opexg 4118 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ V ∧ 0RR) → ⟨𝑧, 0R⟩ ∈ V)
6058, 10, 59mp2an 420 . . . . 5 𝑧, 0R⟩ ∈ V
61 vex 2661 . . . . . 6 𝑤 ∈ V
62 opexg 4118 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ V ∧ 0RR) → ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ V)
6361, 10, 62mp2an 420 . . . . 5 𝑤, 0R⟩ ∈ V
64 eleq1 2178 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ ⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ))
65 eleq1 2178 . . . . . . 7 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (𝑦 ∈ ℝ ↔ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ))
6664, 65bi2anan9 578 . . . . . 6 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ↔ (⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ)))
67 oveq1 5747 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · 𝑦)))
68 oveq2 5748 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (i · 𝑦) = (i · ⟨𝑤, 0R⟩))
6968oveq2d 5756 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩ → (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
7067, 69sylan9eq 2168 . . . . . . 7 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))
7170eqeq2d 2127 . . . . . 6 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩))))
7266, 71anbi12d 462 . . . . 5 ((𝑥 = ⟨𝑧, 0R⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑤, 0R⟩) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))) ↔ ((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩)))))
7360, 63, 72spc2ev 2753 . . . 4 (((⟨𝑧, 0R⟩ ∈ ℝ ∧ ⟨𝑤, 0R⟩ ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (⟨𝑧, 0R⟩ + (i · ⟨𝑤, 0R⟩))) → ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
747, 57, 73syl2anc 406 . . 3 ((𝑧R𝑤R) → ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
75 r2ex 2430 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦))))
7674, 75sylibr 133 . 2 ((𝑧R𝑤R) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ ⟨𝑧, 𝑤⟩ = (𝑥 + (i · 𝑦)))
771, 3, 76optocl 4583 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  wrex 2392  Vcvv 2658  cop 3498  (class class class)co 5740  Rcnr 7069  0Rc0r 7070  1Rc1r 7071  -1Rcm1r 7072   +R cplr 7073   ·R cmr 7074  cc 7582  cr 7583  ici 7586   + caddc 7587   · cmul 7589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238  df-i1p 7239  df-iplp 7240  df-imp 7241  df-enr 7498  df-nr 7499  df-plr 7500  df-mr 7501  df-0r 7503  df-1r 7504  df-m1r 7505  df-c 7590  df-i 7593  df-r 7594  df-add 7595  df-mul 7596
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator