Theorem eleq2s 2329

Description: Substitution of equal classes into a membership antecedent. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
eleq2s.1	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜑)
eleq2s.2	⊢ 𝐶 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
eleq2s	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝜑)

Proof of Theorem eleq2s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2s.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = 𝐵
2	1	eleq2i 2301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵)
3		eleq2s.1	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜑)
4	2, 3	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ial 1583  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2227  df-clel 2230

This theorem is referenced by:  elrabi  2973  opelopabsb  4383  epelg  4416  reg3exmidlemwe  4706  elxpi  4770  optocl  4831  elfvm  5708  elfvfvex  5709  fvmbr  5710  fvmptss2  5757  fvmptssdm  5767  acexmidlemcase  6053  elmpocl  6257  ressuppss  6467  mpoxopn0yelv  6483  tfr2a  6565  tfri1dALT  6595  2oconcl  6685  el2oss1o  6689  ecexr  6785  ectocld  6848  ecoptocl  6869  eroveu  6873  mapsnconst  6942  diffitest  7157  en2eqpr  7180  ctssdccl  7415  nninfwlpoimlemginf  7480  exmidonfinlem  7509  exmidfodomrlemr  7518  exmidfodomrlemrALT  7519  acnrcl  7521  dmaddpqlem  7708  nqpi  7709  nq0nn  7773  0nsr  8080  suplocsrlempr  8138  cnm  8163  axaddcl  8195  axmulcl  8197  aprcl  8938  aptap  8942  peano2uzs  9937  fzssnn  10426  fzossnn0  10536  infssuzex  10618  infssuzledc  10619  rebtwn2zlemstep  10639  fldiv4p1lem1div2  10692  frecfzennn  10815  fser0const  10924  facnn  11117  bcpasc  11156  hashfzo0  11216  hashfibc  11235  ccatval2  11314  ccatass  11324  pfxclz  11399  wrdeqs1cat  11440  rexuz3  11703  rexanuz2  11704  r19.2uz  11706  cau4  11829  caubnd2  11830  climshft2  12019  climaddc1  12042  climmulc2  12044  climsubc1  12045  climsubc2  12046  climlec2  12054  climcau  12060  climcaucn  12064  iserabs  12189  binomlem  12197  isumshft  12204  cvgratgt0  12247  clim2divap  12254  ntrivcvgap  12262  fprodntrivap  12298  fprodeq0  12331  3prm  12853  phicl2  12939  phibndlem  12941  dfphi2  12945  crth  12949  phimullem  12950  ballotfilemfmpn  13181  znnen  13236  ennnfonelemkh  13250  fvprif  13610  xpsfeq  13612  ismgmn0  13624  zrhval  14894  lgsdir2lem2  16031  lgsdir2lem3  16032  lgsquadlem2  16080  2lgslem1b  16091  1vgrex  16144  usgredg2v  16348  konigsberglem5  16616  bj-el2oss1o  16685  2o01f  16907  nninfalllem1  16925  nninfall  16926