Theorem ax1rid 7997

Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 8039. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1rid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem ax1rid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 7942	. 2 ⊢ ℝ = (R × {0R})
2		oveq1 5958	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (𝐴 · 1))
3		id 19	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2221	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐴 · 1) = 𝐴))
5		elsni 3652	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {0R} → 𝑦 = 0R)
6		df-1 7940	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
7	6	oveq2i 5962	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
8		1sr 7871	. . . . . . . 8 ⊢ 1R ∈ R
9		mulresr 7958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
10	8, 9	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
11		1idsr 7888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ R → (𝑥 ·R 1R) = 𝑥)
12	11	opeq1d 3827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ R → ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
13	10, 12	eqtrd 2239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨𝑥, 0R⟩)
14	7, 13	eqtrid 2251	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩)
15		opeq2 3822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
16	15	oveq1d 5966	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · 1))
17	16, 15	eqeq12d 2221	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0R → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩))
18	14, 17	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0R → (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
19	18	impcom 125	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 = 0R) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
20	5, 19	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ {0R}) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
21	1, 4, 20	optocl 4755	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3634  ⟨cop 3637  (class class class)co 5951  Rcnr 7417  0_Rc0r 7418  1_Rc1r 7419   ·_R cmr 7422  ℝcr 7931  1c1 7933   · cmul 7937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-eprel 4340  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-1o 6509  df-2o 6510  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-pli 7425  df-mi 7426  df-lti 7427  df-plpq 7464  df-mpq 7465  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-plqqs 7469  df-mqqs 7470  df-1nqqs 7471  df-rq 7472  df-ltnqqs 7473  df-enq0 7544  df-nq0 7545  df-0nq0 7546  df-plq0 7547  df-mq0 7548  df-inp 7586  df-i1p 7587  df-iplp 7588  df-imp 7589  df-enr 7846  df-nr 7847  df-plr 7848  df-mr 7849  df-0r 7851  df-1r 7852  df-m1r 7853  df-c 7938  df-1 7940  df-r 7942  df-mul 7944

This theorem is referenced by:  rereceu  8009  recriota  8010