Theorem ax1rid 8238

Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 8280. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1rid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem ax1rid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 8183	. 2 ⊢ ℝ = (R × {0R})
2		oveq1 6086	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (𝐴 · 1))
3		id 19	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2253	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐴 · 1) = 𝐴))
5		elsni 3726	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {0R} → 𝑦 = 0R)
6		df-1 8181	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
7	6	oveq2i 6090	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
8		1sr 8112	. . . . . . . 8 ⊢ 1R ∈ R
9		mulresr 8199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
10	8, 9	mpan2 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
11		1idsr 8129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ R → (𝑥 ·R 1R) = 𝑥)
12	11	opeq1d 3908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ R → ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
13	10, 12	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨𝑥, 0R⟩)
14	7, 13	eqtrid 2283	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩)
15		opeq2 3903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
16	15	oveq1d 6094	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · 1))
17	16, 15	eqeq12d 2253	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0R → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩))
18	14, 17	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0R → (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
19	18	impcom 125	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 = 0R) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
20	5, 19	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ {0R}) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
21	1, 4, 20	optocl 4849	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3708  ⟨cop 3711  (class class class)co 6079  Rcnr 7658  0_Rc0r 7659  1_Rc1r 7660   ·_R cmr 7663  ℝcr 8172  1c1 8174   · cmul 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-lti 7668  df-plpq 7705  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-plqqs 7710  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714  df-enq0 7785  df-nq0 7786  df-0nq0 7787  df-plq0 7788  df-mq0 7789  df-inp 7827  df-i1p 7828  df-iplp 7829  df-imp 7830  df-enr 8087  df-nr 8088  df-plr 8089  df-mr 8090  df-0r 8092  df-1r 8093  df-m1r 8094  df-c 8179  df-1 8181  df-r 8183  df-mul 8185

This theorem is referenced by:  rereceu  8250  recriota  8251