ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax1rid GIF version

Theorem ax1rid 7839
Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 7881. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem ax1rid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 7784 . 2 ℝ = (R × {0R})
2 oveq1 5860 . . 3 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (𝐴 · 1))
3 id 19 . . 3 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴)
42, 3eqeq12d 2185 . 2 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐴 · 1) = 𝐴))
5 elsni 3601 . . 3 (𝑦 ∈ {0R} → 𝑦 = 0R)
6 df-1 7782 . . . . . . 7 1 = ⟨1R, 0R
76oveq2i 5864 . . . . . 6 (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
8 1sr 7713 . . . . . . . 8 1RR
9 mulresr 7800 . . . . . . . 8 ((𝑥R ∧ 1RR) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
108, 9mpan2 423 . . . . . . 7 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
11 1idsr 7730 . . . . . . . 8 (𝑥R → (𝑥 ·R 1R) = 𝑥)
1211opeq1d 3771 . . . . . . 7 (𝑥R → ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
1310, 12eqtrd 2203 . . . . . 6 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨𝑥, 0R⟩)
147, 13eqtrid 2215 . . . . 5 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩)
15 opeq2 3766 . . . . . . 7 (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
1615oveq1d 5868 . . . . . 6 (𝑦 = 0R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · 1))
1716, 15eqeq12d 2185 . . . . 5 (𝑦 = 0R → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩))
1814, 17syl5ibr 155 . . . 4 (𝑦 = 0R → (𝑥R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1918impcom 124 . . 3 ((𝑥R𝑦 = 0R) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
205, 19sylan2 284 . 2 ((𝑥R𝑦 ∈ {0R}) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
211, 4, 20optocl 4687 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1348  wcel 2141  {csn 3583  cop 3586  (class class class)co 5853  Rcnr 7259  0Rc0r 7260  1Rc1r 7261   ·R cmr 7264  cr 7773  1c1 7775   · cmul 7779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-0r 7693  df-1r 7694  df-m1r 7695  df-c 7780  df-1 7782  df-r 7784  df-mul 7786
This theorem is referenced by:  rereceu  7851  recriota  7852
  Copyright terms: Public domain W3C validator