ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ax1rid GIF version

Theorem ax1rid 7890
Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 7932. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1rid (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem ax1rid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-r 7835 . 2 ℝ = (R × {0R})
2 oveq1 5895 . . 3 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (𝐴 · 1))
3 id 19 . . 3 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴)
42, 3eqeq12d 2202 . 2 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐴 · 1) = 𝐴))
5 elsni 3622 . . 3 (𝑦 ∈ {0R} → 𝑦 = 0R)
6 df-1 7833 . . . . . . 7 1 = ⟨1R, 0R
76oveq2i 5899 . . . . . 6 (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
8 1sr 7764 . . . . . . . 8 1RR
9 mulresr 7851 . . . . . . . 8 ((𝑥R ∧ 1RR) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
108, 9mpan2 425 . . . . . . 7 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
11 1idsr 7781 . . . . . . . 8 (𝑥R → (𝑥 ·R 1R) = 𝑥)
1211opeq1d 3796 . . . . . . 7 (𝑥R → ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
1310, 12eqtrd 2220 . . . . . 6 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨𝑥, 0R⟩)
147, 13eqtrid 2232 . . . . 5 (𝑥R → (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩)
15 opeq2 3791 . . . . . . 7 (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
1615oveq1d 5903 . . . . . 6 (𝑦 = 0R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · 1))
1716, 15eqeq12d 2202 . . . . 5 (𝑦 = 0R → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩))
1814, 17imbitrrid 156 . . . 4 (𝑦 = 0R → (𝑥R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
1918impcom 125 . . 3 ((𝑥R𝑦 = 0R) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
205, 19sylan2 286 . 2 ((𝑥R𝑦 ∈ {0R}) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
211, 4, 20optocl 4714 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1363  wcel 2158  {csn 3604  cop 3607  (class class class)co 5888  Rcnr 7310  0Rc0r 7311  1Rc1r 7312   ·R cmr 7315  cr 7824  1c1 7826   · cmul 7830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-rq 7365  df-ltnqqs 7366  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-0nq0 7439  df-plq0 7440  df-mq0 7441  df-inp 7479  df-i1p 7480  df-iplp 7481  df-imp 7482  df-enr 7739  df-nr 7740  df-plr 7741  df-mr 7742  df-0r 7744  df-1r 7745  df-m1r 7746  df-c 7831  df-1 7833  df-r 7835  df-mul 7837
This theorem is referenced by:  rereceu  7902  recriota  7903
  Copyright terms: Public domain W3C validator