xrmaxltsup - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xrmaxltsup 12050

Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrmaxltsup	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

**Proof of Theorem xrmaxltsup**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1031	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		simpl2 1032	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
3		xrmaxcl 12044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
5		simpl3 1033	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
6		xrmax1sup 12045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
7	6	3adant3 1048	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ))
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) < 𝐶)
10	1, 4, 5, 8, 9	xrlelttrd 10230	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
11		xrmax2sup 12046	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
12	1, 2, 11	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ))
13	2, 4, 5, 12, 9	xrlelttrd 10230	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
14	10, 13	jca 306	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
15		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpllr 540	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		xrmaxrecl 12047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
18	15, 16, 17	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
19		simp-4r 548	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
20		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
21		maxltsup 12008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
22	15, 16, 20, 21	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
23	19, 22	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
24	18, 23	eqbrtrd 4153	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
25		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		simpllr 540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
27		maxcl 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
29	17	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
30	25, 26, 29	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
31	28, 30	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ)
32		ltpnf 10200	. . . . . . 7 ⊢ (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < +∞)
33	31, 32	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < +∞)
34		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
35	33, 34	breqtrrd 4159	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
36		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
37	36	ad3antrrr 496	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
38		nltmnf 10208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → ¬ 𝐴 < -∞)
39	38	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → ¬ 𝐴 < -∞)
40	39	ad4antr 498	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
41		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐶 = -∞)
42	41	breq2d 4143	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 < -∞))
43	40, 42	mtbird 684	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
44	37, 43	pm2.21dd 629	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
45		elxr 10196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
46	45	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
47	46	3ad2ant3 1051	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
48	47	ad3antrrr 496	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
49	24, 35, 44, 48	mpjao3dan 1348	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
50	36	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
51		pnfnlt 10207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 𝐶)
52	51	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → ¬ +∞ < 𝐶)
53	52	ad3antrrr 496	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
54		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
55	54	breq1d 4141	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
56	53, 55	mtbird 684	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
57	50, 56	pm2.21dd 629	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
58		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
59		mnfle 10212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐵)
60	59	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -∞ ≤ 𝐵)
61	60	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
62	58, 61	eqbrtrd 4153	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
63		simp1 1028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐴 ∈ ℝ^)
64	63	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ^)
65		simp2 1029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐵 ∈ ℝ^)
66	65	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ^)
67		xrmaxleim 12036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵))
68	64, 66, 67	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵))
69	62, 68	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵)
70		simprr 537	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
71	70	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 < 𝐶)
72	69, 71	eqbrtrd 4153	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
73		elxr 10196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
74	73	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
75	74	3ad2ant1 1049	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
76	75	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
77	49, 57, 72, 76	mpjao3dan 1348	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
78		simplrr 542	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 < 𝐶)
79		breq1 4134	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
80	79	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
81	78, 80	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ < 𝐶)
82	52	ad2antrr 492	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
83	81, 82	pm2.21dd 629	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
84		prcom 3787	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
85	84	supeq1i 7335	. . . . 5 ⊢ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < )
86		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
87		mnfle 10212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
88	87	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -∞ ≤ 𝐴)
89	88	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
90	86, 89	eqbrtrd 4153	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
91		simpll2 1068	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ^)
92		simpll1 1067	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ^)
93		xrmaxleim 12036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^) → (𝐵 ≤ 𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴))
94	91, 92, 93	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ≤ 𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴))
95	90, 94	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴)
96	85, 95	eqtr3id 2285	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐴)
97		simplrl 541	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
98	96, 97	eqbrtrd 4153	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
99		elxr 10196	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
100	99	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
101	100	3ad2ant2 1050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
102	101	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
103	77, 83, 98, 102	mpjao3dan 1348	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
104	14, 103	impbida 604	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ w3o 1008 ∧ w3a 1009 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 {cpr 3710 class class class wbr 4131 supcsup 7329 ℝcr 8185 +∞cpnf 8364 -∞cmnf 8365 ℝ^*cxr 8366 < clt 8367 ≤ cle 8368

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8277 ax-resscn 8278 ax-1cn 8279 ax-1re 8280 ax-icn 8281 ax-addcl 8282 ax-addrcl 8283 ax-mulcl 8284 ax-mulrcl 8285 ax-addcom 8286 ax-mulcom 8287 ax-addass 8288 ax-mulass 8289 ax-distr 8290 ax-i2m1 8291 ax-0lt1 8292 ax-1rid 8293 ax-0id 8294 ax-rnegex 8295 ax-precex 8296 ax-cnre 8297 ax-pre-ltirr 8298 ax-pre-ltwlin 8299 ax-pre-lttrn 8300 ax-pre-apti 8301 ax-pre-ltadd 8302 ax-pre-mulgt0 8303 ax-pre-mulext 8304 ax-arch 8305 ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-frec 6666 df-sup 7331 df-pnf 8369 df-mnf 8370 df-xr 8371 df-ltxr 8372 df-le 8373 df-sub 8507 df-neg 8508 df-reap 8912 df-ap 8919 df-div 9012 df-inn 9315 df-2 9373 df-3 9374 df-4 9375 df-n0 9576 df-z 9657 df-uz 9939 df-rp 10073 df-seqfrec 10907 df-exp 10998 df-cj 11630 df-re 11631 df-im 11632 df-rsqrt 11787 df-abs 11788

This theorem is used by: xrmaxadd 12053 xrltmininf 12062 iooinsup 12069 xmetxpbl 15746 txmetcnp 15756

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