xrmaxltsup - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrmaxltsup		GIF version

Theorem xrmaxltsup 11440

Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrmaxltsup	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

**Proof of Theorem xrmaxltsup**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		simpl2 1003	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
3		xrmaxcl 11434	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
5		simpl3 1004	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
6		xrmax1sup 11435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
7	6	3adant3 1019	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ))
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) < 𝐶)
10	1, 4, 5, 8, 9	xrlelttrd 9902	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
11		xrmax2sup 11436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ))
13	2, 4, 5, 12, 9	xrlelttrd 9902	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
14	10, 13	jca 306	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
15		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		xrmaxrecl 11437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
19		simp-4r 542	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
20		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
21		maxltsup 11400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
22	15, 16, 20, 21	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
23	19, 22	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
24	18, 23	eqbrtrd 4056	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
25		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
27		maxcl 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
29	17	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
30	25, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
31	28, 30	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ)
32		ltpnf 9872	. . . . . . 7 ⊢ (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < +∞)
33	31, 32	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < +∞)
34		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
35	33, 34	breqtrrd 4062	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
36		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
38		nltmnf 9880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → ¬ 𝐴 < -∞)
39	38	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → ¬ 𝐴 < -∞)
40	39	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
41		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐶 = -∞)
42	41	breq2d 4046	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 < -∞))
43	40, 42	mtbird 674	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
44	37, 43	pm2.21dd 621	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
45		elxr 9868	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
46	45	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
47	46	3ad2ant3 1022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
48	47	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
49	24, 35, 44, 48	mpjao3dan 1318	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
50	36	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
51		pnfnlt 9879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 𝐶)
52	51	3ad2ant3 1022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → ¬ +∞ < 𝐶)
53	52	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
54		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
55	54	breq1d 4044	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
56	53, 55	mtbird 674	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
57	50, 56	pm2.21dd 621	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
58		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
59		mnfle 9884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐵)
60	59	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -∞ ≤ 𝐵)
61	60	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
62	58, 61	eqbrtrd 4056	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
63		simp1 999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐴 ∈ ℝ^)
64	63	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ^)
65		simp2 1000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐵 ∈ ℝ^)
66	65	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ^)
67		xrmaxleim 11426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵))
68	64, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵))
69	62, 68	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵)
70		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
71	70	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 < 𝐶)
72	69, 71	eqbrtrd 4056	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
73		elxr 9868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
74	73	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
75	74	3ad2ant1 1020	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
76	75	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
77	49, 57, 72, 76	mpjao3dan 1318	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
78		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 < 𝐶)
79		breq1 4037	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
80	79	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
81	78, 80	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ < 𝐶)
82	52	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
83	81, 82	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
84		prcom 3699	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
85	84	supeq1i 7063	. . . . 5 ⊢ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < )
86		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
87		mnfle 9884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
88	87	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -∞ ≤ 𝐴)
89	88	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
90	86, 89	eqbrtrd 4056	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
91		simpll2 1039	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ^)
92		simpll1 1038	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ^)
93		xrmaxleim 11426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^) → (𝐵 ≤ 𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴))
94	91, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ≤ 𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴))
95	90, 94	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴)
96	85, 95	eqtr3id 2243	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐴)
97		simplrl 535	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
98	96, 97	eqbrtrd 4056	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
99		elxr 9868	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
100	99	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
101	100	3ad2ant2 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
102	101	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
103	77, 83, 98, 102	mpjao3dan 1318	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
104	14, 103	impbida 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ w3o 979 ∧ w3a 980 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 {cpr 3624 class class class wbr 4034 supcsup 7057 ℝcr 7895 +∞cpnf 8075 -∞cmnf 8076 ℝ^*cxr 8077 < clt 8078 ≤ cle 8079

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-rp 9746 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181

This theorem is referenced by: xrmaxadd 11443 xrltmininf 11452 iooinsup 11459 xmetxpbl 14828 txmetcnp 14838

W3C validator