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Theorem xrmaxltsup 11284
Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxltsup ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))

Proof of Theorem xrmaxltsup
StepHypRef Expression
1 simpl1 1002 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpl2 1003 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmaxcl 11278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
41, 2, 3syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 simpl3 1004 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrmax1sup 11279 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
763adant3 1019 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
87adantr 276 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
9 simpr 110 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
101, 4, 5, 8, 9xrlelttrd 9828 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
11 xrmax2sup 11280 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
121, 2, 11syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ))
132, 4, 5, 12, 9xrlelttrd 9828 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
1410, 13jca 306 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶) → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
15 simplr 528 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16 simpllr 534 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
17 xrmaxrecl 11281 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
1815, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
19 simp-4r 542 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶))
20 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
21 maxltsup 11245 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1249 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))
2319, 22mpbird 167 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
2418, 23eqbrtrd 4040 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
25 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
27 maxcl 11237 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2825, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2917eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
3025, 26, 29syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
3128, 30mpbird 167 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
32 ltpnf 9798 . . . . . . 7 (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < +∞)
3331, 32syl 14 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < +∞)
34 simpr 110 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
3533, 34breqtrrd 4046 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
36 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
3736ad3antrrr 492 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
38 nltmnf 9806 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
39383ad2ant1 1020 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ 𝐴 < -∞)
4039ad4antr 494 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
41 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐶 = -∞)
4241breq2d 4030 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < -∞))
4340, 42mtbird 674 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
4437, 43pm2.21dd 621 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
45 elxr 9794 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
4645biimpi 120 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
47463ad2ant3 1022 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
4847ad3antrrr 492 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
4924, 35, 44, 48mpjao3dan 1318 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
5036ad2antrr 488 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
51 pnfnlt 9805 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐶)
52513ad2ant3 1022 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐶)
5352ad3antrrr 492 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
54 simpr 110 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
5554breq1d 4028 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
5653, 55mtbird 674 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
5750, 56pm2.21dd 621 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
58 simpr 110 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
59 mnfle 9810 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐵)
60593ad2ant2 1021 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -∞ ≤ 𝐵)
6160ad3antrrr 492 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
6258, 61eqbrtrd 4040 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴𝐵)
63 simp1 999 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6463ad3antrrr 492 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
65 simp2 1000 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6665ad3antrrr 492 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
67 xrmaxleim 11270 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐵))
6864, 66, 67syl2anc 411 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐵))
6962, 68mpd 13 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐵)
70 simprr 531 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
7170ad2antrr 488 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 < 𝐶)
7269, 71eqbrtrd 4040 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
73 elxr 9794 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7473biimpi 120 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
75743ad2ant1 1020 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7675ad2antrr 488 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7749, 57, 72, 76mpjao3dan 1318 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
78 simplrr 536 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 < 𝐶)
79 breq1 4021 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
8079adantl 277 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
8178, 80mpbid 147 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ < 𝐶)
8252ad2antrr 488 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
8381, 82pm2.21dd 621 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
84 prcom 3683 . . . . . 6 {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
8584supeq1i 7005 . . . . 5 sup({𝐵, 𝐴}, ℝ*, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < )
86 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
87 mnfle 9810 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
88873ad2ant1 1020 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -∞ ≤ 𝐴)
8988ad2antrr 488 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
9086, 89eqbrtrd 4040 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵𝐴)
91 simpll2 1039 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
92 simpll1 1038 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
93 xrmaxleim 11270 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ*, < ) = 𝐴))
9491, 92, 93syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ*, < ) = 𝐴))
9590, 94mpd 13 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ*, < ) = 𝐴)
9685, 95eqtr3id 2236 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = 𝐴)
97 simplrl 535 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
9896, 97eqbrtrd 4040 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
99 elxr 9794 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
10099biimpi 120 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
1011003ad2ant2 1021 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
102101adantr 276 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
10377, 83, 98, 102mpjao3dan 1318 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶)
10414, 103impbida 596 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶𝐵 < 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 979  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  {cpr 3608   class class class wbr 4018  supcsup 6999  cr 7828  +∞cpnf 8007  -∞cmnf 8008  *cxr 8009   < clt 8010  cle 8011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-sup 7001  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-rp 9672  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026
This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11287  xrltmininf  11296  iooinsup  11303  xmetxpbl  14405  txmetcnp  14415
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