xrmaxltsup - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xrmaxltsup 11027

Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrmaxltsup	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

**Proof of Theorem xrmaxltsup**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 984	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		simpl2 985	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
3		xrmaxcl 11021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
4	1, 2, 3	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
5		simpl3 986	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
6		xrmax1sup 11022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
7	6	3adant3 1001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
8	7	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ))
9		simpr 109	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) < 𝐶)
10	1, 4, 5, 8, 9	xrlelttrd 9593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
11		xrmax2sup 11023	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
12	1, 2, 11	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ))
13	2, 4, 5, 12, 9	xrlelttrd 9593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
14	10, 13	jca 304	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
15		simplr 519	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpllr 523	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		xrmaxrecl 11024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
18	15, 16, 17	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
19		simp-4r 531	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
20		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
21		maxltsup 10990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
22	15, 16, 20, 21	syl3anc 1216	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
23	19, 22	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
24	18, 23	eqbrtrd 3950	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
25		simplr 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		simpllr 523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
27		maxcl 10982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
29	17	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
30	25, 26, 29	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
31	28, 30	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ)
32		ltpnf 9567	. . . . . . 7 ⊢ (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < +∞)
33	31, 32	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < +∞)
34		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
35	33, 34	breqtrrd 3956	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
36		simprl 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
37	36	ad3antrrr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
38		nltmnf 9574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → ¬ 𝐴 < -∞)
39	38	3ad2ant1 1002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → ¬ 𝐴 < -∞)
40	39	ad4antr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
41		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐶 = -∞)
42	41	breq2d 3941	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 < -∞))
43	40, 42	mtbird 662	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
44	37, 43	pm2.21dd 609	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
45		elxr 9563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
46	45	biimpi 119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
47	46	3ad2ant3 1004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
48	47	ad3antrrr 483	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
49	24, 35, 44, 48	mpjao3dan 1285	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
50	36	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
51		pnfnlt 9573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 𝐶)
52	51	3ad2ant3 1004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → ¬ +∞ < 𝐶)
53	52	ad3antrrr 483	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
54		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
55	54	breq1d 3939	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
56	53, 55	mtbird 662	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
57	50, 56	pm2.21dd 609	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
58		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
59		mnfle 9578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐵)
60	59	3ad2ant2 1003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -∞ ≤ 𝐵)
61	60	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
62	58, 61	eqbrtrd 3950	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
63		simp1 981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐴 ∈ ℝ^)
64	63	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ^)
65		simp2 982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐵 ∈ ℝ^)
66	65	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ^)
67		xrmaxleim 11013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵))
68	64, 66, 67	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵))
69	62, 68	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵)
70		simprr 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
71	70	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 < 𝐶)
72	69, 71	eqbrtrd 3950	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
73		elxr 9563	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
74	73	biimpi 119	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
75	74	3ad2ant1 1002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
76	75	ad2antrr 479	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
77	49, 57, 72, 76	mpjao3dan 1285	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
78		simplrr 525	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 < 𝐶)
79		breq1 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
80	79	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
81	78, 80	mpbid 146	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ < 𝐶)
82	52	ad2antrr 479	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
83	81, 82	pm2.21dd 609	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
84		prcom 3599	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
85	84	supeq1i 6875	. . . . 5 ⊢ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < )
86		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
87		mnfle 9578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
88	87	3ad2ant1 1002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -∞ ≤ 𝐴)
89	88	ad2antrr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
90	86, 89	eqbrtrd 3950	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
91		simpll2 1021	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ^)
92		simpll1 1020	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ^)
93		xrmaxleim 11013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^) → (𝐵 ≤ 𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴))
94	91, 92, 93	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ≤ 𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴))
95	90, 94	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴)
96	85, 95	syl5eqr 2186	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐴)
97		simplrl 524	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
98	96, 97	eqbrtrd 3950	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
99		elxr 9563	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
100	99	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
101	100	3ad2ant2 1003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
102	101	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
103	77, 83, 98, 102	mpjao3dan 1285	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
104	14, 103	impbida 585	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∨ w3o 961 ∧ w3a 962 = wceq 1331 ∈ wcel 1480 {cpr 3528 class class class wbr 3929 supcsup 6869 ℝcr 7619 +∞cpnf 7797 -∞cmnf 7798 ℝ^*cxr 7799 < clt 7800 ≤ cle 7801

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738 ax-arch 7739 ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-if 3475 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-ilim 4291 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-frec 6288 df-sup 6871 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-2 8779 df-3 8780 df-4 8781 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-rp 9442 df-seqfrec 10219 df-exp 10293 df-cj 10614 df-re 10615 df-im 10616 df-rsqrt 10770 df-abs 10771

This theorem is referenced by: xrmaxadd 11030 xrltmininf 11039 iooinsup 11046 xmetxpbl 12677 txmetcnp 12687

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