xrmaxltsup - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xrmaxltsup 11812

Description: Two ways of saying the maximum of two numbers is less than a third. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrmaxltsup	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

**Proof of Theorem xrmaxltsup**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1024	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
2		simpl2 1025	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
3		xrmaxcl 11806	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
5		simpl3 1026	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
6		xrmax1sup 11807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
7	6	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ))
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) < 𝐶)
10	1, 4, 5, 8, 9	xrlelttrd 10038	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
11		xrmax2sup 11808	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ))
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ))
13	2, 4, 5, 12, 9	xrlelttrd 10038	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → 𝐵 < 𝐶)
14	10, 13	jca 306	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
15		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
16		simpllr 534	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
17		xrmaxrecl 11809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
19		simp-4r 542	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
20		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
21		maxltsup 11772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
22	15, 16, 20, 21	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))
23	19, 22	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) < 𝐶)
24	18, 23	eqbrtrd 4108	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
25		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
27		maxcl 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
29	17	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
30	25, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ))
31	28, 30	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ)
32		ltpnf 10008	. . . . . . 7 ⊢ (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < +∞)
33	31, 32	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < +∞)
34		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
35	33, 34	breqtrrd 4114	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
36		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
38		nltmnf 10016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → ¬ 𝐴 < -∞)
39	38	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → ¬ 𝐴 < -∞)
40	39	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
41		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → 𝐶 = -∞)
42	41	breq2d 4098	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐴 < -∞))
43	40, 42	mtbird 677	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
44	37, 43	pm2.21dd 623	. . . . 5 ⊢ ((((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
45		elxr 10004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
46	45	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
47	46	3ad2ant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
48	47	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = +∞ ∨ 𝐶 = -∞))
49	24, 35, 44, 48	mpjao3dan 1341	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
50	36	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 < 𝐶)
51		pnfnlt 10015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ^* → ¬ +∞ < 𝐶)
52	51	3ad2ant3 1044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → ¬ +∞ < 𝐶)
53	52	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
54		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐴 = +∞)
55	54	breq1d 4096	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
56	53, 55	mtbird 677	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
57	50, 56	pm2.21dd 623	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
58		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 = -∞)
59		mnfle 10020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐵)
60	59	3ad2ant2 1043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -∞ ≤ 𝐵)
61	60	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → -∞ ≤ 𝐵)
62	58, 61	eqbrtrd 4108	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≤ 𝐵)
63		simp1 1021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐴 ∈ ℝ^)
64	63	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ^)
65		simp2 1022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → 𝐵 ∈ ℝ^)
66	65	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ^)
67		xrmaxleim 11798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵))
68	64, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ≤ 𝐵 → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵))
69	62, 68	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐵)
70		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
71	70	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐵 < 𝐶)
72	69, 71	eqbrtrd 4108	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
73		elxr 10004	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
74	73	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
75	74	3ad2ant1 1042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
76	75	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
77	49, 57, 72, 76	mpjao3dan 1341	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
78		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐵 < 𝐶)
79		breq1 4089	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
80	79	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐵 < 𝐶 ↔ +∞ < 𝐶))
81	78, 80	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → +∞ < 𝐶)
82	52	ad2antrr 488	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ +∞ < 𝐶)
83	81, 82	pm2.21dd 623	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = +∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
84		prcom 3745	. . . . . 6 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
85	84	supeq1i 7181	. . . . 5 ⊢ sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < )
86		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
87		mnfle 10020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -∞ ≤ 𝐴)
88	87	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → -∞ ≤ 𝐴)
89	88	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → -∞ ≤ 𝐴)
90	86, 89	eqbrtrd 4108	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ≤ 𝐴)
91		simpll2 1061	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 ∈ ℝ^)
92		simpll1 1060	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ^)
93		xrmaxleim 11798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ∈ ℝ^) → (𝐵 ≤ 𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴))
94	91, 92, 93	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐵 ≤ 𝐴 → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴))
95	90, 94	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐵, 𝐴}, ℝ^, < ) = 𝐴)
96	85, 95	eqtr3id 2276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = 𝐴)
97		simplrl 535	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐴 < 𝐶)
98	96, 97	eqbrtrd 4108	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) ∧ 𝐵 = -∞) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
99		elxr 10004	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
100	99	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
101	100	3ad2ant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
102	101	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^*) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
103	77, 83, 98, 102	mpjao3dan 1341	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶)
104	14, 103	impbida 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐶 ∈ ℝ^) → (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) < 𝐶 ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ w3o 1001 ∧ w3a 1002 = wceq 1395 ∈ wcel 2200 {cpr 3668 class class class wbr 4086 supcsup 7175 ℝcr 8024 +∞cpnf 8204 -∞cmnf 8205 ℝ^*cxr 8206 < clt 8207 ≤ cle 8208

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8116 ax-resscn 8117 ax-1cn 8118 ax-1re 8119 ax-icn 8120 ax-addcl 8121 ax-addrcl 8122 ax-mulcl 8123 ax-mulrcl 8124 ax-addcom 8125 ax-mulcom 8126 ax-addass 8127 ax-mulass 8128 ax-distr 8129 ax-i2m1 8130 ax-0lt1 8131 ax-1rid 8132 ax-0id 8133 ax-rnegex 8134 ax-precex 8135 ax-cnre 8136 ax-pre-ltirr 8137 ax-pre-ltwlin 8138 ax-pre-lttrn 8139 ax-pre-apti 8140 ax-pre-ltadd 8141 ax-pre-mulgt0 8142 ax-pre-mulext 8143 ax-arch 8144 ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-sup 7177 df-pnf 8209 df-mnf 8210 df-xr 8211 df-ltxr 8212 df-le 8213 df-sub 8345 df-neg 8346 df-reap 8748 df-ap 8755 df-div 8846 df-inn 9137 df-2 9195 df-3 9196 df-4 9197 df-n0 9396 df-z 9473 df-uz 9749 df-rp 9882 df-seqfrec 10703 df-exp 10794 df-cj 11396 df-re 11397 df-im 11398 df-rsqrt 11552 df-abs 11553

This theorem is referenced by: xrmaxadd 11815 xrltmininf 11824 iooinsup 11831 xmetxpbl 15225 txmetcnp 15235

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