ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqgval GIF version

Theorem eqgval 13013
Description: Value of the subgroup left coset equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqgval.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqgval.n 𝑁 = (invg𝐺)
eqgval.p + = (+g𝐺)
eqgval.r 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eqgval ((𝐺𝑉𝑆𝑋) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)))

Proof of Theorem eqgval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqgval.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqgval.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
3 eqgval.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4 eqgval.r . . . 4 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
51, 2, 3, 4eqgfval 13012 . . 3 ((𝐺𝑉𝑆𝑋) → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆)})
65breqd 4013 . 2 ((𝐺𝑉𝑆𝑋) → (𝐴𝑅𝐵𝐴{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆)}𝐵))
7 brabv 4753 . . . 4 (𝐴{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆)}𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
87adantl 277 . . 3 (((𝐺𝑉𝑆𝑋) ∧ 𝐴{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆)}𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
9 simpr1 1003 . . . . 5 (((𝐺𝑉𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)) → 𝐴𝑋)
109elexd 2750 . . . 4 (((𝐺𝑉𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ V)
11 simpr2 1004 . . . . 5 (((𝐺𝑉𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)) → 𝐵𝑋)
1211elexd 2750 . . . 4 (((𝐺𝑉𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ V)
1310, 12jca 306 . . 3 (((𝐺𝑉𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14 vex 2740 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
15 vex 2740 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
1614, 15prss 3748 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋𝑦𝑋) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋)
17 eleq1 2240 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝑋𝐴𝑋))
18 eleq1 2240 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑋𝐵𝑋))
1917, 18bi2anan9 606 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋)))
2016, 19bitr3id 194 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋)))
21 fveq2 5514 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝐴))
22 id 19 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
2321, 22oveqan12d 5891 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → ((𝑁𝑥) + 𝑦) = ((𝑁𝐴) + 𝐵))
2423eleq1d 2246 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆))
2520, 24anbi12d 473 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)))
26 df-3an 980 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆))
2725, 26bitr4di 198 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)))
28 eqid 2177 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆)}
2927, 28brabga 4263 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆)}𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)))
308, 13, 29pm5.21nd 916 . 2 ((𝐺𝑉𝑆𝑋) → (𝐴{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑋 ∧ ((𝑁𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑆)}𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)))
316, 30bitrd 188 1 ((𝐺𝑉𝑆𝑋) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ ((𝑁𝐴) + 𝐵) ∈ 𝑆)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  wss 3129  {cpr 3593   class class class wbr 4002  {copab 4062  cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  +gcplusg 12528  invgcminusg 12810   ~QG cqg 12960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-inn 8916  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-eqg 12963
This theorem is referenced by:  eqger  13014  eqglact  13015  eqgid  13016  eqgcpbl  13018
  Copyright terms: Public domain W3C validator