Theorem releldm 4927

Description: The first argument of a binary relation belongs to its domain. (Contributed by NM, 2-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
releldm	⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem releldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brrelex 4728	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴 ∈ V)
2		brrelex2 4729	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3		simpr 110	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴𝑅𝐵)
4		breldmg 4898	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1250	1 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   class class class wbr 4054  dom cdm 4688  Rel wrel 4693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4055  df-opab 4117  df-xp 4694  df-rel 4695  df-dm 4698

This theorem is referenced by:  releldmb  4929  releldmi  4931  funeu  5310  fnbr  5392  relelfvdm  5626  funbrfv2b  5641  funfvbrb  5711  ercl  6649  dvidlemap  15248  dvidrelem  15249  dvidsslem  15250  dvmulxxbr  15259  dviaddf  15262  dvimulf  15263  dvcoapbr  15264