Theorem resopab2 4947

Description: Restriction of a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
resopab2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)} ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem resopab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab 4944	. 2 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)} ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))}
2		ssel 3147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	2	pm4.71d 393	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
4	3	anbi1d 465	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑)))
5		anass 401	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	4, 5	bitr2di 197	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
7	6	opabbidv 4064	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})
8	1, 7	eqtrid 2220	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)} ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3127  {copab 4058   ↾ cres 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-opab 4060  df-xp 4626  df-rel 4627  df-res 4632

This theorem is referenced by:  resmpt  4948