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Theorem exmidsbthrlem 14426
Description: Lemma for exmidsbthr 14427. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
exmidsbthrlem.s 𝑆 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝 𝑖))))
Assertion
Ref Expression
exmidsbthrlem (∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) → EXMID)
Distinct variable groups:   𝑆,𝑖   𝑖,𝑝   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑝)

Proof of Theorem exmidsbthrlem
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑧 𝑓 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) → ∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦))
2 nninfex 7114 . . . . . . . . . 10 ∈ V
3 fconstmpt 4670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ω × {∅}) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅)
4 0nninf 14409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ω × {∅}) ∈ ℕ
53, 4eqeltrri 2251 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ω ↦ ∅) ∈ ℕ
65fconst6 5411 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}):𝑧⟶ℕ
76a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ⊆ {∅} → (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}):𝑧⟶ℕ)
8 ssel 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ⊆ {∅} → (𝑢𝑧𝑢 ∈ {∅}))
9 elsni 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ {∅} → 𝑢 = ∅)
108, 9syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ⊆ {∅} → (𝑢𝑧𝑢 = ∅))
11 ssel 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ⊆ {∅} → (𝑣𝑧𝑣 ∈ {∅}))
12 elsni 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ {∅} → 𝑣 = ∅)
1311, 12syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ⊆ {∅} → (𝑣𝑧𝑣 = ∅))
1410, 13anim12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ {∅} → ((𝑢𝑧𝑣𝑧) → (𝑢 = ∅ ∧ 𝑣 = ∅)))
15 eqtr3 2197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 = ∅ ∧ 𝑣 = ∅) → 𝑢 = 𝑣)
1614, 15syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ⊆ {∅} → ((𝑢𝑧𝑣𝑧) → 𝑢 = 𝑣))
1716imp 124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ⊆ {∅} ∧ (𝑢𝑧𝑣𝑧)) → 𝑢 = 𝑣)
1817a1d 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ⊆ {∅} ∧ (𝑢𝑧𝑣𝑧)) → (((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)})‘𝑢) = ((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)})‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
1918ralrimivva 2559 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ⊆ {∅} → ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)})‘𝑢) = ((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)})‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣))
20 dff13 5763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}):𝑧1-1→ℕ ↔ ((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}):𝑧⟶ℕ ∧ ∀𝑢𝑧𝑣𝑧 (((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)})‘𝑢) = ((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)})‘𝑣) → 𝑢 = 𝑣)))
217, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ⊆ {∅} → (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}):𝑧1-1→ℕ)
22 exmidsbthrlem.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (𝑝 ∈ ℕ ↦ (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 = ∅, 1o, (𝑝 𝑖))))
2322peano4nninf 14411 . . . . . . . . . . . 12 𝑆:ℕ1-1→ℕ
2423a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ⊆ {∅} → 𝑆:ℕ1-1→ℕ)
25 disj 3471 . . . . . . . . . . . . 13 ((ran (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}) ∩ ran 𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ran (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}) ¬ 𝑎 ∈ ran 𝑆)
2622peano3nninf 14412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑆𝑏) ≠ (𝑘 ∈ ω ↦ ∅))
27 eqidd 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ∅ = ∅)
2827cbvmptv 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅)
2928neeq2i 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆𝑏) ≠ (𝑘 ∈ ω ↦ ∅) ↔ (𝑆𝑏) ≠ (𝑖 ∈ ω ↦ ∅))
3026, 29sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑆𝑏) ≠ (𝑖 ∈ ω ↦ ∅))
3130neneqd 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℕ → ¬ (𝑆𝑏) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅))
3231nrex 2569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑆𝑏) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅)
33 f1dm 5422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆:ℕ1-1→ℕ → dom 𝑆 = ℕ)
3423, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑆 = ℕ
35 eqcom 2179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆𝑏) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅))
3634, 35rexeqbii 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑏 ∈ dom 𝑆(𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑆𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ (𝑆𝑏) = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅))
3732, 36mtbir 671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ ∃𝑏 ∈ dom 𝑆(𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑆𝑏)
3822funmpt2 5251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fun 𝑆
39 elrnrexdm 5651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun 𝑆 → ((𝑖 ∈ ω ↦ ∅) ∈ ran 𝑆 → ∃𝑏 ∈ dom 𝑆(𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑆𝑏)))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ω ↦ ∅) ∈ ran 𝑆 → ∃𝑏 ∈ dom 𝑆(𝑖 ∈ ω ↦ ∅) = (𝑆𝑏))
4137, 40mto 662 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ (𝑖 ∈ ω ↦ ∅) ∈ ran 𝑆
42 rnxpss 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}) ⊆ {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}
4342sseli 3151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ran (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}) → 𝑎 ∈ {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)})
44 elsni 3609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)} → 𝑎 = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅))
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ran (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}) → 𝑎 = (𝑖 ∈ ω ↦ ∅))
4645eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ran (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}) → (𝑎 ∈ ran 𝑆 ↔ (𝑖 ∈ ω ↦ ∅) ∈ ran 𝑆))
4741, 46mtbiri 675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ran (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}) → ¬ 𝑎 ∈ ran 𝑆)
4825, 47mprgbir 2535 . . . . . . . . . . . 12 (ran (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}) ∩ ran 𝑆) = ∅
4948a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ⊆ {∅} → (ran (𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}) ∩ ran 𝑆) = ∅)
5021, 24, 49casef1 7083 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ⊆ {∅} → case((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}), 𝑆):(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1→ℕ)
51 f1domg 6752 . . . . . . . . . 10 (ℕ ∈ V → (case((𝑧 × {(𝑖 ∈ ω ↦ ∅)}), 𝑆):(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1→ℕ → (𝑧 ⊔ ℕ) ≼ ℕ))
522, 50, 51mpsyl 65 . . . . . . . . 9 (𝑧 ⊆ {∅} → (𝑧 ⊔ ℕ) ≼ ℕ)
5352adantl 277 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) → (𝑧 ⊔ ℕ) ≼ ℕ)
54 inrresf1 7055 . . . . . . . . 9 (inr ↾ ℕ):ℕ1-1→(𝑧 ⊔ ℕ)
55 vex 2740 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
56 djuex 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (𝑧 ⊔ ℕ) ∈ V)
5755, 2, 56mp2an 426 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ⊔ ℕ) ∈ V
5857f1dom 6754 . . . . . . . . 9 ((inr ↾ ℕ):ℕ1-1→(𝑧 ⊔ ℕ) → ℕ ≼ (𝑧 ⊔ ℕ))
5954, 58ax-mp 5 . . . . . . . 8 ≼ (𝑧 ⊔ ℕ)
6053, 59jctir 313 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) → ((𝑧 ⊔ ℕ) ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ (𝑧 ⊔ ℕ)))
61 breq12 4005 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑧 ⊔ ℕ) ∧ 𝑦 = ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑧 ⊔ ℕ) ≼ ℕ))
62 breq12 4005 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = ℕ𝑥 = (𝑧 ⊔ ℕ)) → (𝑦𝑥 ↔ ℕ ≼ (𝑧 ⊔ ℕ)))
6362ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑧 ⊔ ℕ) ∧ 𝑦 = ℕ) → (𝑦𝑥 ↔ ℕ ≼ (𝑧 ⊔ ℕ)))
6461, 63anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑧 ⊔ ℕ) ∧ 𝑦 = ℕ) → ((𝑥𝑦𝑦𝑥) ↔ ((𝑧 ⊔ ℕ) ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ (𝑧 ⊔ ℕ))))
65 breq12 4005 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑧 ⊔ ℕ) ∧ 𝑦 = ℕ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑧 ⊔ ℕ) ≈ ℕ))
6664, 65imbi12d 234 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝑧 ⊔ ℕ) ∧ 𝑦 = ℕ) → (((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ↔ (((𝑧 ⊔ ℕ) ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ (𝑧 ⊔ ℕ)) → (𝑧 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)))
6766spc2gv 2828 . . . . . . . 8 (((𝑧 ⊔ ℕ) ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → (∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) → (((𝑧 ⊔ ℕ) ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ (𝑧 ⊔ ℕ)) → (𝑧 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)))
6857, 2, 67mp2an 426 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) → (((𝑧 ⊔ ℕ) ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ (𝑧 ⊔ ℕ)) → (𝑧 ⊔ ℕ) ≈ ℕ))
691, 60, 68sylc 62 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) → (𝑧 ⊔ ℕ) ≈ ℕ)
70 bren 6741 . . . . . 6 ((𝑧 ⊔ ℕ) ≈ ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ)
7169, 70sylib 122 . . . . 5 ((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) → ∃𝑓 𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ)
72 nninfomni 14424 . . . . . . . . 9 ∈ Omni
7372a1i 9 . . . . . . . 8 (((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ) → ℕ ∈ Omni)
74 f1ocnv 5470 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ𝑓:ℕ1-1-onto→(𝑧 ⊔ ℕ))
75 f1ofo 5464 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ1-1-onto→(𝑧 ⊔ ℕ) → 𝑓:ℕonto→(𝑧 ⊔ ℕ))
7674, 75syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ𝑓:ℕonto→(𝑧 ⊔ ℕ))
7776adantl 277 . . . . . . . 8 (((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ) → 𝑓:ℕonto→(𝑧 ⊔ ℕ))
7873, 77fodjuomni 7141 . . . . . . 7 (((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ) → (∃𝑤 𝑤𝑧𝑧 = ∅))
79 sssnm 3752 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤 𝑤𝑧 → (𝑧 ⊆ {∅} ↔ 𝑧 = {∅}))
8079biimpcd 159 . . . . . . . . 9 (𝑧 ⊆ {∅} → (∃𝑤 𝑤𝑧𝑧 = {∅}))
8180ad2antlr 489 . . . . . . . 8 (((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ) → (∃𝑤 𝑤𝑧𝑧 = {∅}))
8281orim1d 787 . . . . . . 7 (((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ) → ((∃𝑤 𝑤𝑧𝑧 = ∅) → (𝑧 = {∅} ∨ 𝑧 = ∅)))
8378, 82mpd 13 . . . . . 6 (((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ) → (𝑧 = {∅} ∨ 𝑧 = ∅))
8483orcomd 729 . . . . 5 (((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) ∧ 𝑓:(𝑧 ⊔ ℕ)–1-1-onto→ℕ) → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = {∅}))
8571, 84exlimddv 1898 . . . 4 ((∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) ∧ 𝑧 ⊆ {∅}) → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = {∅}))
8685ex 115 . . 3 (∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) → (𝑧 ⊆ {∅} → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = {∅})))
8786alrimiv 1874 . 2 (∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) → ∀𝑧(𝑧 ⊆ {∅} → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = {∅})))
88 exmid01 4195 . 2 (EXMID ↔ ∀𝑧(𝑧 ⊆ {∅} → (𝑧 = ∅ ∨ 𝑧 = {∅})))
8987, 88sylibr 134 1 (∀𝑥𝑦((𝑥𝑦𝑦𝑥) → 𝑥𝑦) → EXMID)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  wal 1351   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737  cin 3128  wss 3129  c0 3422  ifcif 3534  {csn 3591   cuni 3807   class class class wbr 4000  cmpt 4061  EXMIDwem 4191  ωcom 4586   × cxp 4621  ccnv 4622  dom cdm 4623  ran crn 4624  cres 4625  Fun wfun 5206  wf 5208  1-1wf1 5209  ontowfo 5210  1-1-ontowf1o 5211  cfv 5212  1oc1o 6404  cen 6732  cdom 6733  cdju 7030  inrcinr 7039  casecdjucase 7076  xnninf 7112  Omnicomni 7126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-exmid 4192  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-1o 6411  df-2o 6412  df-map 6644  df-en 6735  df-dom 6736  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-case 7077  df-nninf 7113  df-omni 7127
This theorem is referenced by:  exmidsbthr  14427
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