Theorem sbthomlem 16324

Description: Lemma for sbthom 16325. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthomlem.lpo	⊢ (𝜑 → ω ∈ Omni)
sbthomlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ {∅})
sbthomlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))

Assertion

Ref	Expression
sbthomlem	⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))

Proof of Theorem sbthomlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthomlem.lpo	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ∈ Omni)
2		sbthomlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))
3		f1ofo 5575	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω) → 𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
5	1, 4	fodjuomni 7304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 ∨ 𝑌 = ∅))
6	5	orcomd 734	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌))
7		sbthomlem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ {∅})
8		sssnm 3831	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 → (𝑌 ⊆ {∅} ↔ 𝑌 = {∅}))
9	7, 8	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 → 𝑌 = {∅}))
10	9	orim2d 793	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌) → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅})))
11	6, 10	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  {csn 3666  ωcom 4679  –onto→wfo 5312  –1-1-onto→wf1o 5313   ⊔ cdju 7192  Omnicomni 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-1o 6552  df-2o 6553  df-map 6787  df-dju 7193  df-inl 7202  df-inr 7203  df-omni 7290

This theorem is referenced by:  sbthom  16325