Theorem sbthomlem 17044

Description: Lemma for sbthom 17045. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthomlem.lpo	⊢ (𝜑 → ω ∈ Omni)
sbthomlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ {∅})
sbthomlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))

Assertion

Ref	Expression
sbthomlem	⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))

Proof of Theorem sbthomlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthomlem.lpo	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ∈ Omni)
2		sbthomlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))
3		f1ofo 5644	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω) → 𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
5	1, 4	fodjuomni 7483	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 ∨ 𝑌 = ∅))
6	5	orcomd 741	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌))
7		sbthomlem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ {∅})
8		sssnm 3877	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 → (𝑌 ⊆ {∅} ↔ 𝑌 = {∅}))
9	7, 8	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 → 𝑌 = {∅}))
10	9	orim2d 800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌) → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅})))
11	6, 10	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 720   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3708  ωcom 4735  –onto→wfo 5373  –1-1-onto→wf1o 5374   ⊔ cdju 7371  Omnicomni 7468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-1o 6681  df-2o 6682  df-map 6918  df-dju 7372  df-inl 7381  df-inr 7382  df-omni 7469

This theorem is referenced by:  sbthom  17045