Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sbthomlem GIF version

Theorem sbthomlem 13281
Description: Lemma for sbthom 13282. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthomlem.lpo (𝜑 → ω ∈ Omni)
sbthomlem.y (𝜑𝑌 ⊆ {∅})
sbthomlem.f (𝜑𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))
Assertion
Ref Expression
sbthomlem (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))

Proof of Theorem sbthomlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbthomlem.lpo . . . 4 (𝜑 → ω ∈ Omni)
2 sbthomlem.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))
3 f1ofo 5374 . . . . 5 (𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω) → 𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
42, 3syl 14 . . . 4 (𝜑𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
51, 4fodjuomni 7021 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧𝑌𝑌 = ∅))
65orcomd 718 . 2 (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧𝑌))
7 sbthomlem.y . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ {∅})
8 sssnm 3681 . . . 4 (∃𝑧 𝑧𝑌 → (𝑌 ⊆ {∅} ↔ 𝑌 = {∅}))
97, 8syl5ibcom 154 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 𝑧𝑌𝑌 = {∅}))
109orim2d 777 . 2 (𝜑 → ((𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧𝑌) → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅})))
116, 10mpd 13 1 (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wo 697   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  wss 3071  c0 3363  {csn 3527  ωcom 4504  ontowfo 5121  1-1-ontowf1o 5122  cdju 6922  Omnicomni 7004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-omni 7006
This theorem is referenced by:  sbthom  13282
  Copyright terms: Public domain W3C validator