Theorem sbthomlem 16655

Description: Lemma for sbthom 16656. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthomlem.lpo	⊢ (𝜑 → ω ∈ Omni)
sbthomlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ {∅})
sbthomlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))

Assertion

Ref	Expression
sbthomlem	⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))

Proof of Theorem sbthomlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthomlem.lpo	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ∈ Omni)
2		sbthomlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))
3		f1ofo 5590	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω) → 𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
5	1, 4	fodjuomni 7348	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 ∨ 𝑌 = ∅))
6	5	orcomd 736	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌))
7		sbthomlem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ {∅})
8		sssnm 3837	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 → (𝑌 ⊆ {∅} ↔ 𝑌 = {∅}))
9	7, 8	syl5ibcom 155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 → 𝑌 = {∅}))
10	9	orim2d 795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌) → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅})))
11	6, 10	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 715   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669  ωcom 4688  –onto→wfo 5324  –1-1-onto→wf1o 5325   ⊔ cdju 7236  Omnicomni 7333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-map 6819  df-dju 7237  df-inl 7246  df-inr 7247  df-omni 7334

This theorem is referenced by:  sbthom  16656