Theorem sbthomlem 13395

Description: Lemma for sbthom 13396. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 13-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthomlem.lpo	⊢ (𝜑 → ω ∈ Omni)
sbthomlem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ {∅})
sbthomlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))

Assertion

Ref	Expression
sbthomlem	⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))

Proof of Theorem sbthomlem

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthomlem.lpo	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ω ∈ Omni)
2		sbthomlem.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω))
3		f1ofo 5382	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ω–1-1-onto→(𝑌 ⊔ ω) → 𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→(𝑌 ⊔ ω))
5	1, 4	fodjuomni 7029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 ∨ 𝑌 = ∅))
6	5	orcomd 719	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌))
7		sbthomlem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ {∅})
8		sssnm 3689	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 → (𝑌 ⊆ {∅} ↔ 𝑌 = {∅}))
9	7, 8	syl5ibcom 154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌 → 𝑌 = {∅}))
10	9	orim2d 778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑌) → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅})))
11	6, 10	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = ∅ ∨ 𝑌 = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  {csn 3532  ωcom 4512  –onto→wfo 5129  –1-1-onto→wf1o 5130   ⊔ cdju 6930  Omnicomni 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-1o 6321  df-2o 6322  df-map 6552  df-dju 6931  df-inl 6940  df-inr 6941  df-omni 7014

This theorem is referenced by:  sbthom  13396