Theorem endisj 6790

Description: Any two sets are equinumerous to disjoint sets. Exercise 4.39 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 16-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
endisj.1	⊢ 𝐴 ∈ V
endisj.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
endisj	⊢ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem endisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endisj.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		0ex 4109	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
3	1, 2	xpsnen 6787	. . 3 ⊢ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴
4		endisj.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		1on 6391	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ On
6	5	elexi 2738	. . . 4 ⊢ 1o ∈ V
7	4, 6	xpsnen 6787	. . 3 ⊢ (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵
8	3, 7	pm3.2i 270	. 2 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵)
9		xp01disj 6401	. 2 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1o})) = ∅
10		p0ex 4167	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
11	1, 10	xpex 4719	. . 3 ⊢ (𝐴 × {∅}) ∈ V
12	6	snex 4164	. . . 4 ⊢ {1o} ∈ V
13	4, 12	xpex 4719	. . 3 ⊢ (𝐵 × {1o}) ∈ V
14		breq1 3985	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴 × {∅}) → (𝑥 ≈ 𝐴 ↔ (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴))
15		breq1 3985	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐵 × {1o}) → (𝑦 ≈ 𝐵 ↔ (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵))
16	14, 15	bi2anan9 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = (𝐴 × {∅}) ∧ 𝑦 = (𝐵 × {1o})) → ((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) ↔ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵)))
17		ineq12 3318	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = (𝐴 × {∅}) ∧ 𝑦 = (𝐵 × {1o})) → (𝑥 ∩ 𝑦) = ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1o})))
18	17	eqeq1d 2174	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = (𝐴 × {∅}) ∧ 𝑦 = (𝐵 × {1o})) → ((𝑥 ∩ 𝑦) = ∅ ↔ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1o})) = ∅))
19	16, 18	anbi12d 465	. . 3 ⊢ ((𝑥 = (𝐴 × {∅}) ∧ 𝑦 = (𝐵 × {1o})) → (((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅) ↔ (((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1o})) = ∅)))
20	11, 13, 19	spc2ev 2822	. 2 ⊢ ((((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐵 × {1o}) ≈ 𝐵) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1o})) = ∅) → ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅))
21	8, 9, 20	mp2an 423	1 ⊢ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ≈ 𝐴 ∧ 𝑦 ≈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = ∅)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∩ cin 3115  ∅c0 3409  {csn 3576   class class class wbr 3982  Oncon0 4341   × cxp 4602  1_oc1o 6377   ≈ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-1o 6384  df-en 6707

This theorem is referenced by: (None)