Theorem xpcanm 4973

Description: Cancellation law for cross-product. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpcanm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐶 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem xpcanm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssxp2 4971	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐶 × 𝐴) ⊆ (𝐶 × 𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
2		ssxp2 4971	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐶 × 𝐵) ⊆ (𝐶 × 𝐴) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3	1, 2	anbi12d 464	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → (((𝐶 × 𝐴) ⊆ (𝐶 × 𝐵) ∧ (𝐶 × 𝐵) ⊆ (𝐶 × 𝐴)) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
4		eqss 3107	. 2 ⊢ ((𝐶 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐵) ↔ ((𝐶 × 𝐴) ⊆ (𝐶 × 𝐵) ∧ (𝐶 × 𝐵) ⊆ (𝐶 × 𝐴)))
5		eqss 3107	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4g 222	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐶 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3066   × cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545

This theorem is referenced by: (None)