Theorem xpcanm 4986

Description: Cancellation law for cross-product. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpcanm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐶 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem xpcanm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssxp2 4984	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐶 × 𝐴) ⊆ (𝐶 × 𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
2		ssxp2 4984	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐶 × 𝐵) ⊆ (𝐶 × 𝐴) ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3	1, 2	anbi12d 465	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → (((𝐶 × 𝐴) ⊆ (𝐶 × 𝐵) ∧ (𝐶 × 𝐵) ⊆ (𝐶 × 𝐴)) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))
4		eqss 3117	. 2 ⊢ ((𝐶 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐵) ↔ ((𝐶 × 𝐴) ⊆ (𝐶 × 𝐵) ∧ (𝐶 × 𝐵) ⊆ (𝐶 × 𝐴)))
5		eqss 3117	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4g 222	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐶 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481   ⊆ wss 3076   × cxp 4545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by: (None)