Theorem xpeq0r 5069

Description: A cross product is empty if at least one member is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpeq0r	⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem xpeq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4658	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
2		0xp 4724	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2238	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
4		xpeq2 4659	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
5		xp0 5066	. . 3 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
6	4, 5	eqtrdi 2238	. 2 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7	3, 6	jaoi 717	1 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 709   = wceq 1364  ∅c0 3437   × cxp 4642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652

This theorem is referenced by:  sqxpeq0  5070