Theorem xpeq0r 4822

Description: A cross product is empty if at least one member is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpeq0r	⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem xpeq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4427	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
2		0xp 4488	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
3	1, 2	syl6eq 2133	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
4		xpeq2 4428	. . 3 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
5		xp0 4819	. . 3 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
6	4, 5	syl6eq 2133	. 2 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7	3, 6	jaoi 669	1 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 662   = wceq 1287  ∅c0 3275   × cxp 4411

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3823  df-opab 3877  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421

This theorem is referenced by: (None)