Theorem sqxpeq0 5008

Description: A Cartesian square is empty iff its member is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sqxpeq0	⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sqxpeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 4785	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
2		dmxpid 4806	. . 3 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴
3		dm0 4799	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
4	1, 2, 3	3eqtr3g 2213	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅)
5		xpeq0r 5007	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
6	5	orcs 725	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
7	4, 6	impbii 125	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1335  ∅c0 3394   × cxp 4583  dom cdm 4585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-dm 4595

This theorem is referenced by:  metn0  12749