Theorem sqxpeq0 5125

Description: A Cartesian square is empty iff its member is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sqxpeq0	⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sqxpeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 4897	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
2		dmxpid 4918	. . 3 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴
3		dm0 4911	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
4	1, 2, 3	3eqtr3g 2263	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅)
5		xpeq0r 5124	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
6	5	orcs 737	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
7	4, 6	impbii 126	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∅c0 3468   × cxp 4691  dom cdm 4693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-dm 4703

This theorem is referenced by:  metn0  14965