Theorem sqxpeq0 5177

Description: A Cartesian square is empty iff its member is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sqxpeq0	⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sqxpeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 4947	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
2		dmxpid 4969	. . 3 ⊢ dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴
3		dm0 4961	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
4	1, 2, 3	3eqtr3g 2288	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅)
5		xpeq0r 5176	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
6	5	orcs 743	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
7	4, 6	impbii 126	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) = ∅ ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∅c0 3505   × cxp 4738  dom cdm 4740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-br 4103  df-opab 4165  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-dm 4750

This theorem is referenced by:  metn0  15213