Theorem xp0 5144

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 4796	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 4894	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 5143	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 5128	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2258	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1395  ∅c0 3491   × cxp 4714  ^◡ccnv 4715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724

This theorem is referenced by:  xpeq0r  5147  xpdisj2  5150  djuassen  7387  xpdjuen  7388  0met  15043