Theorem xp0 5107

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 4759	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 4857	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 5106	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 5091	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2235	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1373  ∅c0 3461   × cxp 4677  ^◡ccnv 4678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-br 4048  df-opab 4110  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687

This theorem is referenced by:  xpeq0r  5110  xpdisj2  5113  djuassen  7336  xpdjuen  7337  0met  14900