Theorem xp0 5090

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 4744	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 4842	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 5089	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 5074	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2225	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1364  ∅c0 3451   × cxp 4662  ^◡ccnv 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672

This theorem is referenced by:  xpeq0r  5093  xpdisj2  5096  djuassen  7300  xpdjuen  7301  0met  14704