Theorem xp0 5210

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 4857	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 4957	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 5209	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 5194	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2267	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  ∅c0 3520   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784

This theorem is used by:  xpeq0r  5213  xpdisj2  5216  djuassen  7579  xpdjuen  7580  gsum2d2fi  14274  0met  15610