MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axtgupdim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axtgupdim2 28494
Description: Upper dimension axiom for dimension 2, Axiom A9 of [Schwabhauser] p. 13. Three points 𝑋, 𝑌 and 𝑍 equidistant to two given two points 𝑈 and 𝑉 must be colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkge.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkge.d = (dist‘𝐺)
axtrkge.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtgupdim2.x (𝜑𝑋𝑃)
axtgupdim2.y (𝜑𝑌𝑃)
axtgupdim2.z (𝜑𝑍𝑃)
axtgupdim2.u (𝜑𝑈𝑃)
axtgupdim2.v (𝜑𝑉𝑃)
axtgupdim2.0 (𝜑𝑈𝑉)
axtgupdim2.1 (𝜑 → (𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋))
axtgupdim2.2 (𝜑 → (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌))
axtgupdim2.3 (𝜑 → (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍))
axtgupdim2.w (𝜑𝐺𝑉)
axtgupdim2.g (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥3)
Assertion
Ref Expression
axtgupdim2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Proof of Theorem axtgupdim2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axtgupdim2.1 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋))
2 axtgupdim2.2 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌))
3 axtgupdim2.3 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍))
4 axtgupdim2.0 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
5 axtgupdim2.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥3)
6 axtgupdim2.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝑉)
7 axtrkge.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Base‘𝐺)
8 axtrkge.d . . . . . . . . . . . . 13 = (dist‘𝐺)
9 axtrkge.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (Itv‘𝐺)
107, 8, 9istrkg3ld 28484 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
125, 11mtbid 324 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
13 ralnex2 3131 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ¬ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1412, 13sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
15 axtgupdim2.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑃)
16 axtgupdim2.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉𝑃)
17 neeq1 3001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢𝑣𝑈𝑣))
18 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 𝑥) = (𝑈 𝑥))
1918eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ↔ (𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥)))
20 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 𝑦) = (𝑈 𝑦))
2120eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ↔ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦)))
22 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 𝑧) = (𝑈 𝑧))
2322eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧) ↔ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)))
2419, 21, 233anbi123d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧))))
2524anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
2625rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
27262rexbidv 3220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
2817, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑈𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
2928notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑈 → (¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ¬ (𝑈𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
30 neeq2 3002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑉 → (𝑈𝑣𝑈𝑉))
31 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣 𝑥) = (𝑉 𝑥))
3231eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ↔ (𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥)))
33 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣 𝑦) = (𝑉 𝑦))
3433eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ↔ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦)))
35 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣 𝑧) = (𝑉 𝑧))
3635eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧) ↔ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)))
3732, 34, 363anbi123d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑉 → (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧))))
3837anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
3938rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑉 → (∃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
40392rexbidv 3220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑉 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
4130, 40anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
4241notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑉 → (¬ (𝑈𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
4329, 42rspc2v 3633 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑃𝑉𝑃) → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
4415, 16, 43syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
4514, 44mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
46 imnan 399 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑉 → ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
4745, 46sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝑉 → ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
484, 47mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
49 ralnex3 3132 . . . . . 6 (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
5048, 49sylibr 234 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
51 axtgupdim2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
52 axtgupdim2.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
53 axtgupdim2.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑃)
54 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑈 𝑥) = (𝑈 𝑋))
55 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑉 𝑥) = (𝑉 𝑋))
5654, 55eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ↔ (𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋)))
57563anbi1d 1439 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧))))
58 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑦))
5958eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦)))
60 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
61 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
6261eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
6359, 60, 623orbi123d 1434 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
6463notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
6557, 64anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
6665notbid 318 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
67 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑈 𝑦) = (𝑈 𝑌))
68 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑉 𝑦) = (𝑉 𝑌))
6967, 68eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ↔ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌)))
70693anbi2d 1440 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧))))
71 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑌))
7271eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
73 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → (𝑧𝐼𝑦) = (𝑧𝐼𝑌))
7473eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌)))
75 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
7672, 74, 753orbi123d 1434 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
7776notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → (¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
7870, 77anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
7978notbid 318 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
80 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑈 𝑧) = (𝑈 𝑍))
81 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑉 𝑧) = (𝑉 𝑍))
8280, 81eqeq12d 2751 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧) ↔ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)))
83823anbi3d 1441 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 → (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍))))
84 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
85 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧𝐼𝑌) = (𝑍𝐼𝑌))
8685eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ↔ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)))
87 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
8887eleq2d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
8984, 86, 883orbi123d 1434 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
9089notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 → (¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
9183, 90anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9291notbid 318 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑍 → (¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9366, 79, 92rspc3v 3638 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑍𝑃) → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9451, 52, 53, 93syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9550, 94mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
96 imnan 399 . . . 4 ((((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) → ¬ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) ↔ ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
9795, 96sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) → ¬ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
981, 2, 3, 97mp3and 1463 . 2 (𝜑 → ¬ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
9998notnotrd 133 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  3c3 12320  Basecbs 17245  distcds 17307  DimTarskiGcstrkgld 28454  Itvcitv 28456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-trkgld 28475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator