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Theorem axtgupdim2 27455
Description: Upper dimension axiom for dimension 2, Axiom A9 of [Schwabhauser] p. 13. Three points 𝑋, π‘Œ and 𝑍 equidistant to two given two points π‘ˆ and 𝑉 must be colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkge.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
axtrkge.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
axtrkge.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
axtgupdim2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
axtgupdim2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
axtgupdim2.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
axtgupdim2.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
axtgupdim2.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
axtgupdim2.0 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
axtgupdim2.1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋))
axtgupdim2.2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ))
axtgupdim2.3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍))
axtgupdim2.w (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
axtgupdim2.g (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺DimTarskiGβ‰₯3)
Assertion
Ref Expression
axtgupdim2 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Proof of Theorem axtgupdim2
Dummy variables 𝑣 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axtgupdim2.1 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋))
2 axtgupdim2.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ))
3 axtgupdim2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍))
4 axtgupdim2.0 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
5 axtgupdim2.g . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺DimTarskiGβ‰₯3)
6 axtgupdim2.w . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
7 axtrkge.p . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
8 axtrkge.d . . . . . . . . . . . . 13 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
9 axtrkge.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
107, 8, 9istrkg3ld 27445 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯3 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
125, 11mtbid 324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
13 ralnex2 3127 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ Β¬ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
1412, 13sylibr 233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
15 axtgupdim2.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑃)
16 axtgupdim2.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝑃)
17 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝑒 β‰  𝑣 ↔ π‘ˆ β‰  𝑣))
18 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝑒 βˆ’ π‘₯) = (π‘ˆ βˆ’ π‘₯))
1918eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ↔ (π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯)))
20 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (π‘ˆ βˆ’ 𝑦))
2120eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦)))
22 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (π‘ˆ βˆ’ 𝑧))
2322eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧) ↔ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)))
2419, 21, 233anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ↔ ((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧))))
2524anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
2625rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
27262rexbidv 3210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
2817, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ (π‘ˆ β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
2928notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (Β¬ (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ Β¬ (π‘ˆ β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
30 neeq2 3004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑉 β†’ (π‘ˆ β‰  𝑣 ↔ π‘ˆ β‰  𝑉))
31 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯))
3231eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ↔ (π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯)))
33 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦))
3433eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦)))
35 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧))
3635eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧) ↔ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)))
3732, 34, 363anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑉 β†’ (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ↔ ((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧))))
3837anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
3938rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
40392rexbidv 3210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
4130, 40anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((π‘ˆ β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ (π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
4241notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑉 β†’ (Β¬ (π‘ˆ β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ Β¬ (π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
4329, 42rspc2v 3589 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ Β¬ (π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
4415, 16, 43syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑃 βˆ€π‘£ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑒 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((𝑒 βˆ’ π‘₯) = (𝑣 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑦) = (𝑣 βˆ’ 𝑦) ∧ (𝑒 βˆ’ 𝑧) = (𝑣 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) β†’ Β¬ (π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))))
4514, 44mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
46 imnan 401 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ β‰  𝑉 β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))) ↔ Β¬ (π‘ˆ β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
4745, 46sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β‰  𝑉 β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))))
484, 47mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
49 ralnex3 3128 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
5048, 49sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
51 axtgupdim2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
52 axtgupdim2.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
53 axtgupdim2.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
54 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (π‘ˆ βˆ’ 𝑋))
55 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑉 βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ 𝑋))
5654, 55eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ↔ (π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋)))
57563anbi1d 1441 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ↔ ((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧))))
58 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑦))
5958eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦)))
60 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
61 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
6261eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
6359, 60, 623orbi123d 1436 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
6463notbid 318 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) ↔ Β¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
6557, 64anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
6665notbid 318 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) ↔ Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
67 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Œ β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ))
68 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ))
6967, 68eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ↔ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ)))
70693anbi2d 1442 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘Œ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ↔ ((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧))))
71 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋𝐼𝑦) = (π‘‹πΌπ‘Œ))
7271eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)))
73 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑧𝐼𝑦) = (π‘§πΌπ‘Œ))
7473eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ)))
75 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
7672, 74, 753orbi123d 1436 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
7776notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘Œ β†’ (Β¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
7870, 77anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
7978notbid 318 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ (Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
80 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 β†’ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (π‘ˆ βˆ’ 𝑍))
81 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑉 βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑍))
8280, 81eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 β†’ ((π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧) ↔ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍)))
83823anbi3d 1443 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ↔ ((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍))))
84 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)))
85 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑍 β†’ (π‘§πΌπ‘Œ) = (π‘πΌπ‘Œ))
8685eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ↔ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)))
87 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
8887eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
8984, 86, 883orbi123d 1436 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 β†’ ((𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
9089notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 β†’ (Β¬ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
9183, 90anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑍 β†’ ((((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍)) ∧ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9291notbid 318 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑍 β†’ (Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍)) ∧ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9366, 79, 92rspc3v 3592 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍)) ∧ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9451, 52, 53, 93syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ π‘₯) = (𝑉 βˆ’ π‘₯) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑦) = (𝑉 βˆ’ 𝑦) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑧) = (𝑉 βˆ’ 𝑧)) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍)) ∧ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9550, 94mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍)) ∧ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
96 imnan 401 . . . 4 ((((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍)) β†’ Β¬ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))) ↔ Β¬ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍)) ∧ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
9795, 96sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ βˆ’ 𝑋) = (𝑉 βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘ˆ βˆ’ π‘Œ) = (𝑉 βˆ’ π‘Œ) ∧ (π‘ˆ βˆ’ 𝑍) = (𝑉 βˆ’ 𝑍)) β†’ Β¬ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
981, 2, 3, 97mp3and 1465 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ Β¬ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
9998notnotrd 133 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  3c3 12214  Basecbs 17088  distcds 17147  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27415  Itvcitv 27417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-trkgld 27436
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