Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axtgupdim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axtgupdim2 25675
 Description: Upper dimension axiom for dimension 2, Axiom A9 of [Schwabhauser] p. 13. Three points 𝑋, 𝑌 and 𝑍 equidistant to two given two points 𝑈 and 𝑉 must be colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkge.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
axtrkge.d = (dist‘𝐺)
axtrkge.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtgupdim2.x (𝜑𝑋𝑃)
axtgupdim2.y (𝜑𝑌𝑃)
axtgupdim2.z (𝜑𝑍𝑃)
axtgupdim2.u (𝜑𝑈𝑃)
axtgupdim2.v (𝜑𝑉𝑃)
axtgupdim2.0 (𝜑𝑈𝑉)
axtgupdim2.1 (𝜑 → (𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋))
axtgupdim2.2 (𝜑 → (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌))
axtgupdim2.3 (𝜑 → (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍))
axtgupdim2.w (𝜑𝐺𝑉)
axtgupdim2.g (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥3)
Assertion
Ref Expression
axtgupdim2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Proof of Theorem axtgupdim2
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axtgupdim2.1 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋))
2 axtgupdim2.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌))
3 axtgupdim2.3 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍))
41, 2, 33jca 1158 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)))
5 axtgupdim2.0 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
6 axtgupdim2.g . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥3)
7 axtgupdim2.w . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺𝑉)
8 axtrkge.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (Base‘𝐺)
9 axtrkge.d . . . . . . . . . . . . . 14 = (dist‘𝐺)
10 axtrkge.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (Itv‘𝐺)
118, 9, 10istrkg3ld 25665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
1312notbid 309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (¬ 𝐺DimTarskiG≥3 ↔ ¬ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
146, 13mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
15 ralnex2 3192 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ¬ ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1614, 15sylibr 225 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
17 axtgupdim2.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑃)
18 axtgupdim2.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉𝑃)
19 neeq1 2999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢𝑣𝑈𝑣))
20 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 𝑥) = (𝑈 𝑥))
2120eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ↔ (𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥)))
22 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 𝑦) = (𝑈 𝑦))
2322eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ↔ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦)))
24 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 𝑧) = (𝑈 𝑧))
2524eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧) ↔ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)))
2621, 23, 253anbi123d 1560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = 𝑈 → (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧))))
2726anbi1d 623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
2827rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
2928rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
3029rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
3119, 30anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑈𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
3231notbid 309 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑈 → (¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ¬ (𝑈𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
33 neeq2 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑉 → (𝑈𝑣𝑈𝑉))
34 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣 𝑥) = (𝑉 𝑥))
3534eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ↔ (𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥)))
36 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣 𝑦) = (𝑉 𝑦))
3736eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ↔ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦)))
38 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑉 → (𝑣 𝑧) = (𝑉 𝑧))
3938eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧) ↔ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)))
4035, 37, 393anbi123d 1560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑉 → (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧))))
4140anbi1d 623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
4241rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑉 → (∃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
4342rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑉 → (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
4443rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑉 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
4533, 44anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑉 → ((𝑈𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
4645notbid 309 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑉 → (¬ (𝑈𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
4732, 46rspc2v 3475 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑃𝑉𝑃) → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
4817, 18, 47syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑢𝑃𝑣𝑃 ¬ (𝑢𝑣 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑢 𝑥) = (𝑣 𝑥) ∧ (𝑢 𝑦) = (𝑣 𝑦) ∧ (𝑢 𝑧) = (𝑣 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
4916, 48mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
50 imnan 388 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑉 → ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ¬ (𝑈𝑉 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
5149, 50sylibr 225 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝑉 → ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
525, 51mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
53 ralnex3 3193 . . . . . 6 (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
5452, 53sylibr 225 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
55 axtgupdim2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
56 axtgupdim2.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
57 axtgupdim2.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑃)
58 oveq2 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑈 𝑥) = (𝑈 𝑋))
59 oveq2 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑉 𝑥) = (𝑉 𝑋))
6058, 59eqeq12d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ↔ (𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋)))
61603anbi1d 1564 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧))))
62 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑦))
6362eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦)))
64 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
65 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
6665eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
6763, 64, 663orbi123d 1559 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
6867notbid 309 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → (¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
6961, 68anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
7069notbid 309 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
71 oveq2 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑈 𝑦) = (𝑈 𝑌))
72 oveq2 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑉 𝑦) = (𝑉 𝑌))
7371, 72eqeq12d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ↔ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌)))
74733anbi2d 1565 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧))))
75 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑌))
7675eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
77 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → (𝑧𝐼𝑦) = (𝑧𝐼𝑌))
7877eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌)))
79 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
8076, 78, 793orbi123d 1559 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
8180notbid 309 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑌 → (¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
8274, 81anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
8382notbid 309 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
84 oveq2 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑈 𝑧) = (𝑈 𝑍))
85 oveq2 6854 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑉 𝑧) = (𝑉 𝑍))
8684, 85eqeq12d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧) ↔ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)))
87863anbi3d 1566 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 → (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ↔ ((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍))))
88 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
89 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧𝐼𝑌) = (𝑍𝐼𝑌))
9089eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ↔ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)))
91 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
9291eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
9388, 90, 923orbi123d 1559 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
9493notbid 309 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑍 → (¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
9587, 94anbi12d 624 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9695notbid 309 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑍 → (¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9770, 83, 96rspc3v 3478 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑍𝑃) → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9855, 56, 57, 97syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (((𝑈 𝑥) = (𝑉 𝑥) ∧ (𝑈 𝑦) = (𝑉 𝑦) ∧ (𝑈 𝑧) = (𝑉 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
9954, 98mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
100 imnan 388 . . . 4 ((((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) → ¬ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) ↔ ¬ (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) ∧ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
10199, 100sylibr 225 . . 3 (𝜑 → (((𝑈 𝑋) = (𝑉 𝑋) ∧ (𝑈 𝑌) = (𝑉 𝑌) ∧ (𝑈 𝑍) = (𝑉 𝑍)) → ¬ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
1024, 101mpd 15 . 2 (𝜑 → ¬ ¬ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
103102notnotrd 130 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∨ w3o 1106   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  ∀wral 3055  ∃wrex 3056   class class class wbr 4811  ‘cfv 6070  (class class class)co 6846  3c3 11332  Basecbs 16144  distcds 16237  DimTarskiG≥cstrkgld 25638  Itvcitv 25640 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-trkgld 25656 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator