Theorem bj-pr1val 37331

Description: Value of the first projection. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pr1val	⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)

Proof of Theorem bj-pr1val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-pr1 37328	. 2 ⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵))
2		0ex 5243	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		bj-projval 37323	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)
5	1, 4	eqtri 2760	1 ⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568   × cxp 5624  tag bj-ctag 37301   Proj bj-cproj 37317  pr₁ bj-cpr1 37327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-bj-sngl 37293  df-bj-tag 37302  df-bj-proj 37318  df-bj-pr1 37328

This theorem is referenced by:  bj-pr11val  37332  bj-pr21val  37340