Theorem bj-pr1val 37839

Description: Value of the first projection. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pr1val	⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)

Proof of Theorem bj-pr1val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-pr1 37836	. 2 ⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵))
2		0ex 5260	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		bj-projval 37831	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)
5	1, 4	eqtri 2783	1 ⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4583   × cxp 5645  tag bj-ctag 37809   Proj bj-cproj 37825  pr₁ bj-cpr1 37835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-bj-sngl 37801  df-bj-tag 37810  df-bj-proj 37826  df-bj-pr1 37836

This theorem is used by:  bj-pr11val  37840  bj-pr21val  37848