Theorem bj-pr1val 37668

Description: Value of the first projection. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pr1val	⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)

Proof of Theorem bj-pr1val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-pr1 37665	. 2 ⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵))
2		0ex 5269	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		bj-projval 37660	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)
5	1, 4	eqtri 2785	1 ⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ∅c0 4285  ifcif 4486  {csn 4588   × cxp 5658  tag bj-ctag 37638   Proj bj-cproj 37654  pr₁ bj-cpr1 37664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-bj-sngl 37630  df-bj-tag 37639  df-bj-proj 37655  df-bj-pr1 37665

This theorem is used by:  bj-pr11val  37669  bj-pr21val  37677