Theorem bj-pr1val 35121

Description: Value of the first projection. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pr1val	⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)

Proof of Theorem bj-pr1val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-pr1 35118	. 2 ⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵))
2		0ex 5226	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		bj-projval 35113	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ Proj ({𝐴} × tag 𝐵)) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)
5	1, 4	eqtri 2766	1 ⊢ pr1 ({𝐴} × tag 𝐵) = if(𝐴 = ∅, 𝐵, ∅)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  ifcif 4456  {csn 4558   × cxp 5578  tag bj-ctag 35091   Proj bj-cproj 35107  pr₁ bj-cpr1 35117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-bj-sngl 35083  df-bj-tag 35092  df-bj-proj 35108  df-bj-pr1 35118

This theorem is referenced by:  bj-pr11val  35122  bj-pr21val  35130