Theorem bj-pr11val 38096

Description: Value of the first projection of a monuple. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pr11val	⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = 𝐴

Proof of Theorem bj-pr11val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-1upl 38089	. . 3 ⊢ ⦅𝐴⦆ = ({∅} × tag 𝐴)
2		bj-pr1eq 38093	. . 3 ⊢ (⦅𝐴⦆ = ({∅} × tag 𝐴) → pr1 ⦅𝐴⦆ = pr1 ({∅} × tag 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = pr1 ({∅} × tag 𝐴)
4		bj-pr1val 38095	. 2 ⊢ pr1 ({∅} × tag 𝐴) = if(∅ = ∅, 𝐴, ∅)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
6	5	iftruei 4492	. 2 ⊢ if(∅ = ∅, 𝐴, ∅) = 𝐴
7	3, 4, 6	3eqtri 2790	1 ⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588   × cxp 5653  tag bj-ctag 38065  ⦅bj-c1upl 38088  pr₁ bj-cpr1 38091

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-bj-sngl 38057  df-bj-tag 38066  df-bj-proj 38082  df-bj-1upl 38089  df-bj-pr1 38092

This theorem is used by:  bj-1uplth  38098  bj-1uplex  38099  bj-pr21val  38104