Theorem bj-pr11val 37840

Description: Value of the first projection of a monuple. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pr11val	⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = 𝐴

Proof of Theorem bj-pr11val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-1upl 37833	. . 3 ⊢ ⦅𝐴⦆ = ({∅} × tag 𝐴)
2		bj-pr1eq 37837	. . 3 ⊢ (⦅𝐴⦆ = ({∅} × tag 𝐴) → pr1 ⦅𝐴⦆ = pr1 ({∅} × tag 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = pr1 ({∅} × tag 𝐴)
4		bj-pr1val 37839	. 2 ⊢ pr1 ({∅} × tag 𝐴) = if(∅ = ∅, 𝐴, ∅)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∅ = ∅
6	5	iftruei 4488	. 2 ⊢ if(∅ = ∅, 𝐴, ∅) = 𝐴
7	3, 4, 6	3eqtri 2787	1 ⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ∅c0 4278  ifcif 4481  {csn 4583   × cxp 5645  tag bj-ctag 37809  ⦅bj-c1upl 37832  pr₁ bj-cpr1 37835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-bj-sngl 37801  df-bj-tag 37810  df-bj-proj 37826  df-bj-1upl 37833  df-bj-pr1 37836

This theorem is used by:  bj-1uplth  37842  bj-1uplex  37843  bj-pr21val  37848