Theorem bj-xpimasn 36140

Description: The image of a singleton, general case. [Change and relabel xpimasn 6185 accordingly, maybe to xpima2sn.] (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-xpimasn	⊢ ((𝐴 × 𝐵) “ {𝑋}) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 𝐵, ∅)

Proof of Theorem bj-xpimasn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpima 6182	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) “ {𝑋}) = if((𝐴 ∩ {𝑋}) = ∅, ∅, 𝐵)
2		disjsn 4716	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ 𝐵 = 𝐵
4	2, 3	ifbieq2i 4554	. 2 ⊢ if((𝐴 ∩ {𝑋}) = ∅, ∅, 𝐵) = if(¬ 𝑋 ∈ 𝐴, ∅, 𝐵)
5		ifnot 4581	. 2 ⊢ if(¬ 𝑋 ∈ 𝐴, ∅, 𝐵) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 𝐵, ∅)
6	1, 4, 5	3eqtri 2763	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) “ {𝑋}) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 𝐵, ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3948  ∅c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629   × cxp 5675   “ cima 5680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690

This theorem is referenced by:  bj-xpima1sn  36141  bj-xpima2sn  36143