Theorem cnvcnvss 6182

Description: The double converse of a class is a subclass. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.) (Proof shortened by Umit Teoman Dogan, 10-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvss	⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴

Proof of Theorem cnvcnvss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv2 6181	. 2 ⊢ ◡◡𝐴 = (𝐴 ↾ V)
2		resss 5989	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ V) ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3977	1 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5647   ↾ cres 5650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-res 5660

This theorem is used by:  relcnvtrg  6258  funcnvcnv  6596  foimacnv  6831  cnvct  9041  cnvfiALT  9306  structcnvcnv  17278  mvdco  19606  fcoinver  33117  fcnvgreu  33185  cnvssb  44524  relnonrel  44525  clcnvlem  44561  cnvtrrel  44608  relexpaddss  44656  tposres3  49905