Theorem cnvcnvss 6191

Description: The double converse of a class is a subclass. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.) (Proof shortened by Umit Teoman Dogan, 10-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
cnvcnvss	⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴

Proof of Theorem cnvcnvss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv2 6190	. 2 ⊢ ◡◡𝐴 = (𝐴 ↾ V)
2		resss 5999	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ V) ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3982	1 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-res 5672

This theorem is used by:  relcnvtrg  6267  funcnvcnv  6603  foimacnv  6838  cnvct  9029  cnvfiALT  9294  structcnvcnv  17219  mvdco  19521  fcoinver  32960  fcnvgreu  33028  cnvssb  44340  relnonrel  44341  clcnvlem  44377  cnvtrrel  44424  relexpaddss  44472  tposres3  49687