MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvct 9031
Description: If a set is countable, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cnvct (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem cnvct
StepHypRef Expression
1 relcnv 6094 . . . 4 Rel 𝐴
2 ctex 8956 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 cnvexg 7909 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
5 cnven 9030 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
61, 4, 5sylancr 586 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
7 cnvcnvss 6184 . . . 4 𝐴𝐴
8 ssdomg 8993 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐴𝐴𝐴))
92, 7, 8mpisyl 21 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
10 endomtr 9005 . . 3 ((𝐴𝐴𝐴𝐴) → 𝐴𝐴)
116, 9, 10syl2anc 583 . 2 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
12 domtr 9000 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
1311, 12mpancom 685 1 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  Vcvv 3466  wss 3941   class class class wbr 5139  ccnv 5666  Rel wrel 5672  ωcom 7849  cen 8933  cdom 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-en 8937  df-dom 8938
This theorem is referenced by:  rnct  10517
  Copyright terms: Public domain W3C validator