MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvct 8320
Description: If a set is countable, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cnvct (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem cnvct
StepHypRef Expression
1 relcnv 5759 . . . 4 Rel 𝐴
2 ctex 8258 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 cnvexg 7393 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
5 cnven 8319 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
61, 4, 5sylancr 581 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
7 cnvcnvss 5844 . . . 4 𝐴𝐴
8 ssdomg 8289 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐴𝐴𝐴))
92, 7, 8mpisyl 21 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
10 endomtr 8301 . . 3 ((𝐴𝐴𝐴𝐴) → 𝐴𝐴)
116, 9, 10syl2anc 579 . 2 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
12 domtr 8296 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
1311, 12mpancom 678 1 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3398  wss 3792   class class class wbr 4888  ccnv 5356  Rel wrel 5362  ωcom 7345  cen 8240  cdom 8241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-en 8244  df-dom 8245
This theorem is referenced by:  rnct  9684
  Copyright terms: Public domain W3C validator