Theorem cnvct 9019

Description: If a set is countable, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnvct	⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem cnvct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6097	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝐴
2		ctex 8948	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		cnvexg 7909	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ◡𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ∈ V)
5		cnven 9018	. . . 4 ⊢ ((Rel ◡𝐴 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
6	1, 4, 5	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
7		cnvcnvss 6184	. . . 4 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴
8		ssdomg 8985	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (◡◡𝐴 ⊆ 𝐴 → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴))
9	2, 7, 8	mpisyl 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴)
10		endomtr 8997	. . 3 ⊢ ((◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴 ∧ ◡◡𝐴 ≼ 𝐴) → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
11	6, 9, 10	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
12		domtr 8992	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → ◡𝐴 ≼ ω)
13	11, 12	mpancom 700	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  ^◡ccnv 5651  Rel wrel 5657  ωcom 7850   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-en 8932  df-dom 8933

This theorem is referenced by:  rnct  10497