Theorem cnvct 8273

Description: If a set is countable, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnvct	⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem cnvct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5721	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝐴
2		ctex 8211	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		cnvexg 7348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ◡𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ∈ V)
5		cnven 8272	. . . 4 ⊢ ((Rel ◡𝐴 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
6	1, 4, 5	sylancr 582	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
7		cnvcnvss 5806	. . . 4 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴
8		ssdomg 8242	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (◡◡𝐴 ⊆ 𝐴 → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴))
9	2, 7, 8	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴)
10		endomtr 8254	. . 3 ⊢ ((◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴 ∧ ◡◡𝐴 ≼ 𝐴) → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
11	6, 9, 10	syl2anc 580	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
12		domtr 8249	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → ◡𝐴 ≼ ω)
13	11, 12	mpancom 680	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2157  Vcvv 3386   ⊆ wss 3770   class class class wbr 4844  ^◡ccnv 5312  Rel wrel 5318  ωcom 7300   ≈ cen 8193   ≼ cdom 8194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-en 8197  df-dom 8198

This theorem is referenced by:  rnct  9636