MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvct 8583
Description: If a set is countable, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cnvct (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem cnvct
StepHypRef Expression
1 relcnv 5955 . . . 4 Rel 𝐴
2 ctex 8521 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 cnvexg 7625 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
5 cnven 8582 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
61, 4, 5sylancr 590 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
7 cnvcnvss 6039 . . . 4 𝐴𝐴
8 ssdomg 8552 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐴𝐴𝐴))
92, 7, 8mpisyl 21 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
10 endomtr 8564 . . 3 ((𝐴𝐴𝐴𝐴) → 𝐴𝐴)
116, 9, 10syl2anc 587 . 2 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
12 domtr 8559 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
1311, 12mpancom 687 1 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  Vcvv 3481  wss 3920   class class class wbr 5053  ccnv 5542  Rel wrel 5548  ωcom 7575  cen 8503  cdom 8504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-en 8507  df-dom 8508
This theorem is referenced by:  rnct  9946
  Copyright terms: Public domain W3C validator