Theorem cnvct 9074

Description: If a set is countable, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnvct	⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem cnvct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6122	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝐴
2		ctex 9004	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		cnvexg 7946	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ◡𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ∈ V)
5		cnven 9073	. . . 4 ⊢ ((Rel ◡𝐴 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
6	1, 4, 5	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
7		cnvcnvss 6214	. . . 4 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴
8		ssdomg 9040	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (◡◡𝐴 ⊆ 𝐴 → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴))
9	2, 7, 8	mpisyl 21	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴)
10		endomtr 9052	. . 3 ⊢ ((◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴 ∧ ◡◡𝐴 ≼ 𝐴) → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
12		domtr 9047	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → ◡𝐴 ≼ ω)
13	11, 12	mpancom 688	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684  Rel wrel 5690  ωcom 7887   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-en 8986  df-dom 8987

This theorem is referenced by:  rnct  10565