MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structcnvcnv 17187
Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 5723 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ (V × V)
2 cnvcnv 6214 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝐹 ∩ (V × V))
3 inss2 4246 . . . . . . . 8 (𝐹 ∩ (V × V)) ⊆ (V × V)
42, 3eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝐹 ⊆ (V × V)
54sseli 3991 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝐹 → ∅ ∈ (V × V))
61, 5mto 197 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ 𝐹
7 disjsn 4716 . . . . 5 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
86, 7mpbir 231 . . . 4 (𝐹 ∩ {∅}) = ∅
9 cnvcnvss 6216 . . . . 5 𝐹𝐹
10 reldisj 4459 . . . . 5 (𝐹𝐹 → ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})))
119, 10ax-mp 5 . . . 4 ((𝐹 ∩ {∅}) = ∅ ↔ 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
128, 11mpbi 230 . . 3 𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅})
1312a1i 11 . 2 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 ⊆ (𝐹 ∖ {∅}))
14 structn0fun 17185 . . . . 5 (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
15 funrel 6585 . . . . 5 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐹 Struct 𝑋 → Rel (𝐹 ∖ {∅}))
17 dfrel2 6211 . . . 4 (Rel (𝐹 ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
1816, 17sylib 218 . . 3 (𝐹 Struct 𝑋(𝐹 ∖ {∅}) = (𝐹 ∖ {∅}))
19 difss 4146 . . . 4 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
20 cnvss 5886 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
21 cnvss 5886 . . . 4 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹(𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
2318, 22eqsstrrdi 4051 . 2 (𝐹 Struct 𝑋 → (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹)
2413, 23eqssd 4013 1 (𝐹 Struct 𝑋𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ccnv 5688  Rel wrel 5694  Fun wfun 6557   Struct cstr 17180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181
This theorem is referenced by:  structfung  17188  ebtwntg  29012  ecgrtg  29013  elntg  29014
  Copyright terms: Public domain W3C validator