Theorem funcnvcnv 6600

Description: The double converse of a function is a function. (Contributed by NM, 21-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvcnv	⊢ (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴)

Proof of Theorem funcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvss 6187	. 2 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴
2		funss 6552	. 2 ⊢ (◡◡𝐴 ⊆ 𝐴 → (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5654  Fun wfun 6527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-res 5667  df-fun 6535

This theorem is used by:  funcnvres2  6613  inpreima  7056  difpreima  7057  f1oresrab  7121  sbthlem8  9092  fin1a2lem7  10408  cnclima  23493  iscncl  23494  qtopcld  23939  qtoprest  23943  qtopcmap  23945  rnelfmlem  24178  fmfnfmlem3  24182  mbfimaicc  25859  ismbf3d  25882  i1fd  25909  gsummpt2co  33488