Theorem funcnvcnv 6637

Description: The double converse of a function is a function. (Contributed by NM, 21-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvcnv	⊢ (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴)

Proof of Theorem funcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvss 6204	. 2 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴
2		funss 6586	. 2 ⊢ (◡◡𝐴 ⊆ 𝐴 → (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊆ wss 3900  ^◡ccnv 5657  Fun wfun 6560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-res 5670  df-fun 6568

This theorem is used by:  funcnvres2  6650  inpreima  7095  difpreima  7096  f1oresrab  7160  sbthlem8  9151  fin1a2lem7  10523  cnclima  23641  iscncl  23642  qtopcld  24087  qtoprest  24091  qtopcmap  24093  rnelfmlem  24326  fmfnfmlem3  24330  mbfimaicc  26007  ismbf3d  26030  i1fd  26057  gsummpt2co  33708