Theorem funcnvcnv 6612

Description: The double converse of a function is a function. (Contributed by NM, 21-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvcnv	⊢ (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴)

Proof of Theorem funcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvss 6188	. 2 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴
2		funss 6563	. 2 ⊢ (◡◡𝐴 ⊆ 𝐴 → (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (Fun 𝐴 → Fun ◡◡𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ⊆ wss 3896  ^◡ccnv 5650  Fun wfun 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-res 5663  df-fun 6545

This theorem is used by:  funcnvres2  6625  inpreima  7068  difpreima  7069  f1oresrab  7133  sbthlem8  9120  fin1a2lem7  10491  cnclima  23595  iscncl  23596  qtopcld  24041  qtoprest  24045  qtopcmap  24047  rnelfmlem  24280  fmfnfmlem3  24284  mbfimaicc  25961  ismbf3d  25984  i1fd  26011  gsummpt2co  33659