Theorem cphqss 24936

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space contains the rational numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphqss	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → ℚ ⊆ 𝐾)

Proof of Theorem cphqss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		cphsca.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1, 2	cphsubrg 24928	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
4	1, 2	cphsca 24927	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
5		cphlvec 24923	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LVec)
6	1	lvecdrng 20860	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 ∈ DivRing)
8	4, 7	eqeltrrd 2832	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing)
9		qsssubdrg 21204	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
10	3, 8, 9	syl2anc 582	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → ℚ ⊆ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℚcq 12936  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  Scalarcsca 17204  SubRingcsubrg 20457  DivRingcdr 20500  LVecclvec 20857  ℂ_fldccnfld 21144  ℂPreHilccph 24914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-lvec 20858  df-cnfld 21145  df-phl 21398  df-cph 24916

This theorem is referenced by: (None)