Theorem cphsubrg 24929

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is a subring of ℂ_fld. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsubrg	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))

Proof of Theorem cphsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
2		cphsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2, 1	cphsca 24928	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
4		cphlvec 24924	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LVec)
5	2	lvecdrng 20861	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 ∈ DivRing)
7	1, 3, 6	cphsubrglem 24926	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
8	7	simp3d 1143	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∩ cin 3947  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  Basecbs 17149   ↾_s cress 17178  Scalarcsca 17205  SubRingcsubrg 20458  DivRingcdr 20501  LVecclvec 20858  ℂ_fldccnfld 21145  ℂPreHilccph 24915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-lvec 20859  df-cnfld 21146  df-phl 21399  df-cph 24917

This theorem is referenced by:  cphdivcl  24931  cphabscl  24934  cphsqrtcl2  24935  cphsqrtcl3  24936  cphqss  24937  cphclm  24938  cphipcl  24940  4cphipval2  24991  hlprlem  25116  ishl2  25119