Theorem cphsubrg 25202

Description: The scalar field of a subcomplex pre-Hilbert space is a subring of ℂ_fld. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsca.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphsubrg	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))

Proof of Theorem cphsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsca.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
2		cphsca.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2, 1	cphsca 25201	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
4		cphlvec 25197	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LVec)
5	2	lvecdrng 21085	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 ∈ DivRing)
7	1, 3, 6	cphsubrglem 25199	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐾 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
8	7	simp3d 1141	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  ℂcc 11158  Basecbs 17215   ↾_s cress 17244  Scalarcsca 17271  SubRingcsubrg 20553  DivRingcdr 20709  LVecclvec 21082  ℂ_fldccnfld 21345  ℂPreHilccph 25188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-addf 11239  ax-mulf 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8243  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13541  df-seq 14024  df-exp 14084  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-starv 17283  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-unif 17291  df-0g 17458  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-subg 19119  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-mgp 20120  df-rng 20138  df-ur 20167  df-ring 20220  df-cring 20221  df-oppr 20318  df-dvdsr 20341  df-unit 20342  df-subrg 20555  df-drng 20711  df-lvec 21083  df-cnfld 21346  df-phl 21624  df-cph 25190

This theorem is referenced by:  cphdivcl  25204  cphabscl  25207  cphsqrtcl2  25208  cphsqrtcl3  25209  cphqss  25210  cphclm  25211  cphipcl  25213  4cphipval2  25264  hlprlem  25389  ishl2  25392