MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishl2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ishl2 25311
Description: A Hilbert space is a complete subcomplex pre-Hilbert space over ℝ or β„‚. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlress.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
hlress.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ishl2 (π‘Š ∈ β„‚Hil ↔ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}))
Proof of Theorem ishl2
StepHypRef Expression
1 ishl 25303 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Hil ↔ (π‘Š ∈ Ban ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil))
2 df-3an 1087 . . 3 ((π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil) ↔ ((π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil))
3 3ancomb 1097 . . 3 ((π‘Š ∈ CMetSp ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}) ↔ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil))
4 cphnvc 25117 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ NrmVec)
5 hlress.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
65isbn 25279 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ Ban ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐹 ∈ CMetSp))
7 3anass 1093 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ NrmVec ∧ π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐹 ∈ CMetSp)))
86, 7bitri 275 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ban ↔ (π‘Š ∈ NrmVec ∧ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐹 ∈ CMetSp)))
98baib 535 . . . . . 6 (π‘Š ∈ NrmVec β†’ (π‘Š ∈ Ban ↔ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐹 ∈ CMetSp)))
104, 9syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (π‘Š ∈ Ban ↔ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐹 ∈ CMetSp)))
11 hlress.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
125, 11cphsca 25120 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
1312eleq1d 2814 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (𝐹 ∈ CMetSp ↔ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp))
145, 11cphsubrg 25121 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
15 cphlvec 25116 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LVec)
165lvecdrng 20990 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
1812, 17eqeltrrd 2830 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ DivRing)
19 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
2019cncdrg 25300 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ DivRing ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp) β†’ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚})
21203expia 1119 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ DivRing) β†’ ((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp β†’ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}))
2214, 18, 21syl2anc 583 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ ((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp β†’ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}))
23 elpri 4651 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝐾 = ℝ ∨ 𝐾 = β„‚))
24 oveq2 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = ℝ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs ℝ))
25 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2625recld2 24743 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))
27 cncms 25296 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚fld ∈ CMetSp
28 ax-resscn 11196 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
29 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„‚fld β†Ύs ℝ) = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
30 cnfldbas 21283 . . . . . . . . . . . . . 14 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
3129, 30, 25cmsss 25292 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‚fld ∈ CMetSp ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ CMetSp ↔ ℝ ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))))
3227, 28, 31mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ CMetSp ↔ ℝ ∈ (Clsdβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3326, 32mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ CMetSp
3424, 33eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = ℝ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp)
35 oveq2 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = β„‚ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs β„‚))
3630ressid 17225 . . . . . . . . . . . . 13 (β„‚fld ∈ CMetSp β†’ (β„‚fld β†Ύs β„‚) = β„‚fld)
3727, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld β†Ύs β„‚) = β„‚fld
3837, 27eqeltri 2825 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs β„‚) ∈ CMetSp
3935, 38eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . 10 (𝐾 = β„‚ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp)
4034, 39jaoi 856 . . . . . . . . 9 ((𝐾 = ℝ ∨ 𝐾 = β„‚) β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp)
4123, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp)
4222, 41impbid1 224 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ ((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}))
4313, 42bitrd 279 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}))
4443anbi2d 629 . . . . 5 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ ((π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) ↔ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚})))
4510, 44bitrd 279 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ (π‘Š ∈ Ban ↔ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚})))
4645pm5.32ri 575 . . 3 ((π‘Š ∈ Ban ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil) ↔ ((π‘Š ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil))
472, 3, 463bitr4ri 304 . 2 ((π‘Š ∈ Ban ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil) ↔ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}))
481, 47bitri 275 1 (π‘Š ∈ β„‚Hil ↔ (π‘Š ∈ CMetSp ∧ π‘Š ∈ β„‚PreHil ∧ 𝐾 ∈ {ℝ, β„‚}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  {cpr 4631  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  β„cr 11138  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  Scalarcsca 17236  TopOpenctopn 17403  SubRingcsubrg 20506  DivRingcdr 20624  LVecclvec 20987  β„‚fldccnfld 21279  Clsdccld 22933  NrmVeccnvc 24503  β„‚PreHilccph 25107  CMetSpccms 25273  Bancbn 25274  β„‚Hilchl 25275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-drng 20626  df-lvec 20988  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-phl 21558  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-flim 23856  df-fcls 23858  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-nvc 24509  df-cncf 24811  df-cph 25109  df-cfil 25196  df-cmet 25198  df-cms 25276  df-bn 25277  df-hl 25278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator