Theorem hlprlem 25694

Description: Lemma for hlpr 25696. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlress.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
hlress.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
hlprlem	⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ CMetSp))

Proof of Theorem hlprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcph 25691	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		hlress.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		hlress.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4	2, 3	cphsubrg 25507	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6	2, 3	cphsca 25506	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
7	1, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
8		cphlvec 25502	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LVec)
9	2	lvecdrng 21386	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
10	1, 8, 9	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐹 ∈ DivRing)
11	7, 10	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing)
12		hlbn 25690	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Ban)
13	2	bnsca 25666	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝐹 ∈ CMetSp)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐹 ∈ CMetSp)
15	7, 14	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ CMetSp)
16	5, 11, 15	3jca 1146	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ CMetSp))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  Scalarcsca 17437  SubRingcsubrg 20827  DivRingcdr 20986  LVecclvec 21383  ℂ_fldccnfld 21684  ℂPreHilccph 25493  CMetSpccms 25659  Bancbn 25660  ℂHilchl 25661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-addf 11283  ax-mulf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-seq 14149  df-exp 14209  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-subg 19339  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-cring 20468  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-subrg 20828  df-drng 20988  df-lvec 21384  df-cnfld 21685  df-phl 21938  df-cph 25495  df-bn 25663  df-hl 25664

This theorem is used by:  hlress  25695  hlpr  25696