Theorem hlprlem 24813

Description: Lemma for hlpr 24815. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlress.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
hlress.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
hlprlem	⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ CMetSp))

Proof of Theorem hlprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcph 24810	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2		hlress.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		hlress.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
4	2, 3	cphsubrg 24626	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6	2, 3	cphsca 24625	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
7	1, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
8		cphlvec 24621	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LVec)
9	2	lvecdrng 20665	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
10	1, 8, 9	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐹 ∈ DivRing)
11	7, 10	eqeltrrd 2833	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing)
12		hlbn 24809	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Ban)
13	2	bnsca 24785	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ban → 𝐹 ∈ CMetSp)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐹 ∈ CMetSp)
15	7, 14	eqeltrrd 2833	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ CMetSp)
16	5, 11, 15	3jca 1128	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ DivRing ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ CMetSp))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126   ↾_s cress 17155  Scalarcsca 17182  DivRingcdr 20265  SubRingcsubrg 20308  LVecclvec 20662  ℂ_fldccnfld 20878  ℂPreHilccph 24612  CMetSpccms 24778  Bancbn 24779  ℂHilchl 24780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-addf 11171  ax-mulf 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-seq 13949  df-exp 14010  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-subg 18975  df-cmn 19614  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-drng 20267  df-subrg 20310  df-lvec 20663  df-cnfld 20879  df-phl 21112  df-cph 24614  df-bn 24782  df-hl 24783

This theorem is referenced by:  hlress  24814  hlpr  24815