MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlprlem 24734
Description: Lemma for hlpr 24736. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlress.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
hlress.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
hlprlem (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ DivRing ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp))

Proof of Theorem hlprlem
StepHypRef Expression
1 hlcph 24731 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
2 hlress.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 hlress.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
42, 3cphsubrg 24547 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
51, 4syl 17 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
62, 3cphsca 24546 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
71, 6syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
8 cphlvec 24542 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LVec)
92lvecdrng 20569 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
101, 8, 93syl 18 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
117, 10eqeltrrd 2839 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ DivRing)
12 hlbn 24730 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ Ban)
132bnsca 24706 . . . 4 (π‘Š ∈ Ban β†’ 𝐹 ∈ CMetSp)
1412, 13syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ 𝐹 ∈ CMetSp)
157, 14eqeltrrd 2839 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp)
165, 11, 153jca 1129 1 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ DivRing ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084   β†Ύs cress 17113  Scalarcsca 17137  DivRingcdr 20186  SubRingcsubrg 20221  LVecclvec 20566  β„‚fldccnfld 20799  β„‚PreHilccph 24533  CMetSpccms 24699  Bancbn 24700  β„‚Hilchl 24701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-subg 18926  df-cmn 19565  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-drng 20188  df-subrg 20223  df-lvec 20567  df-cnfld 20800  df-phl 21033  df-cph 24535  df-bn 24703  df-hl 24704
This theorem is referenced by:  hlress  24735  hlpr  24736
  Copyright terms: Public domain W3C validator