MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlprlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hlprlem 24875
Description: Lemma for hlpr 24877. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlress.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
hlress.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
hlprlem (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ DivRing ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp))
Proof of Theorem hlprlem
StepHypRef Expression
1 hlcph 24872 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ β„‚PreHil)
2 hlress.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 hlress.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
42, 3cphsubrg 24688 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
51, 4syl 17 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
62, 3cphsca 24687 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
71, 6syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
8 cphlvec 24683 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚PreHil β†’ π‘Š ∈ LVec)
92lvecdrng 20708 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
101, 8, 93syl 18 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
117, 10eqeltrrd 2834 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ DivRing)
12 hlbn 24871 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ π‘Š ∈ Ban)
132bnsca 24847 . . . 4 (π‘Š ∈ Ban β†’ 𝐹 ∈ CMetSp)
1412, 13syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ 𝐹 ∈ CMetSp)
157, 14eqeltrrd 2834 . 2 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp)
165, 11, 153jca 1128 1 (π‘Š ∈ β„‚Hil β†’ (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ DivRing ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ CMetSp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  Scalarcsca 17196  DivRingcdr 20307  SubRingcsubrg 20351  LVecclvec 20705  β„‚fldccnfld 20936  β„‚PreHilccph 24674  CMetSpccms 24840  Bancbn 24841  β„‚Hilchl 24842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lvec 20706  df-cnfld 20937  df-phl 21170  df-cph 24676  df-bn 24844  df-hl 24845
This theorem is referenced by:  hlress  24876  hlpr  24877
  Copyright terms: Public domain W3C validator