MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlprlem 23980
Description: Lemma for hlpr 23982. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hlress.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
hlress.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
hlprlem (𝑊 ∈ ℂHil → (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ DivRing ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ CMetSp))

Proof of Theorem hlprlem
StepHypRef Expression
1 hlcph 23977 . . 3 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 hlress.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 hlress.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
42, 3cphsubrg 23794 . . 3 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
51, 4syl 17 . 2 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
62, 3cphsca 23793 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
71, 6syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
8 cphlvec 23789 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LVec)
92lvecdrng 19879 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)
101, 8, 93syl 18 . . 3 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐹 ∈ DivRing)
117, 10eqeltrrd 2917 . 2 (𝑊 ∈ ℂHil → (ℂflds 𝐾) ∈ DivRing)
12 hlbn 23976 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Ban)
132bnsca 23952 . . . 4 (𝑊 ∈ Ban → 𝐹 ∈ CMetSp)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝐹 ∈ CMetSp)
157, 14eqeltrrd 2917 . 2 (𝑊 ∈ ℂHil → (ℂflds 𝐾) ∈ CMetSp)
165, 11, 153jca 1125 1 (𝑊 ∈ ℂHil → (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ DivRing ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ CMetSp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  s cress 16486  Scalarcsca 16570  DivRingcdr 19504  SubRingcsubrg 19533  LVecclvec 19876  fldccnfld 20100  ℂPreHilccph 23780  CMetSpccms 23945  Bancbn 23946  ℂHilchl 23947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-addf 10616  ax-mulf 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-tpos 7890  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-seq 13376  df-exp 13437  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-subg 18278  df-cmn 18910  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19378  df-dvdsr 19396  df-unit 19397  df-drng 19506  df-subrg 19535  df-lvec 19877  df-cnfld 20101  df-phl 20324  df-cph 23782  df-bn 23949  df-hl 23950
This theorem is referenced by:  hlress  23981  hlpr  23982
  Copyright terms: Public domain W3C validator