Theorem cphphl 25367

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphphl	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem cphphl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 25366	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1163	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp1d 1160	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908   ↦ cmpt 5197   “ cima 5669  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  +∞cpnf 11258  [,)cico 13392  √csqrt 15310  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  Scalarcsca 17338  ·_𝑖cip 17340  ℂ_fldccnfld 21559  PreHilcphl 21811  normcnm 24770  NrmModcnlm 24774  ℂPreHilccph 25362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-nul 5274

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-xp 5672  df-cnv 5674  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426  df-cph 25364

This theorem is used by:  cphlvec  25371  cphcjcl  25379  cphipcl  25387  cphnmf  25391  cphipcj  25395  cphorthcom  25397  cphip0l  25398  cphip0r  25399  cphipeq0  25400  cphdir  25401  cphdi  25402  cph2di  25403  cphsubdir  25404  cphsubdi  25405  cph2subdi  25406  cphass  25407  cphassr  25408  ipcau  25434  nmparlem  25435  ipcn  25442  cphsscph  25447  hlphl  25561  cmscsscms  25569  bncssbn  25570  pjthlem2  25634