Theorem cphphl 25291

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphphl	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem cphphl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 25290	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1161	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp1d 1158	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907   ↦ cmpt 5186   “ cima 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  +∞cpnf 11228  [,)cico 13365  √csqrt 15274  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  Scalarcsca 17303  ·_𝑖cip 17305  ℂ_fldccnfld 21482  PreHilcphl 21734  normcnm 24694  NrmModcnlm 24698  ℂPreHilccph 25286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5658  df-cnv 5660  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-cph 25288

This theorem is referenced by:  cphlvec  25295  cphcjcl  25303  cphipcl  25311  cphnmf  25315  cphipcj  25319  cphorthcom  25321  cphip0l  25322  cphip0r  25323  cphipeq0  25324  cphdir  25325  cphdi  25326  cph2di  25327  cphsubdir  25328  cphsubdi  25329  cph2subdi  25330  cphass  25331  cphassr  25332  ipcau  25358  nmparlem  25359  ipcn  25366  cphsscph  25371  hlphl  25485  cmscsscms  25493  bncssbn  25494  pjthlem2  25558