Theorem cphphl 24240

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphphl	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem cphphl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 24239	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1143	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp1d 1140	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  [,)cico 13010  √csqrt 14872  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891  ·_𝑖cip 16893  ℂ_fldccnfld 20510  PreHilcphl 20741  normcnm 23638  NrmModcnlm 23642  ℂPreHilccph 24235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-cph 24237

This theorem is referenced by:  cphlvec  24244  cphcjcl  24252  cphipcl  24260  cphnmf  24264  cphipcj  24268  cphorthcom  24270  cphip0l  24271  cphip0r  24272  cphipeq0  24273  cphdir  24274  cphdi  24275  cph2di  24276  cphsubdir  24277  cphsubdi  24278  cph2subdi  24279  cphass  24280  cphassr  24281  ipcau  24307  nmparlem  24308  ipcn  24315  cphsscph  24320  hlphl  24434  cmscsscms  24442  bncssbn  24443  pjthlem2  24507