Theorem cphphl 25497

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphphl	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem cphphl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 25496	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1163	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp1d 1160	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   ↦ cmpt 5185   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  +∞cpnf 11343  [,)cico 13481  √csqrt 15405  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  Scalarcsca 17436  ·_𝑖cip 17438  ℂ_fldccnfld 21683  PreHilcphl 21935  normcnm 24900  NrmModcnlm 24904  ℂPreHilccph 25492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-cph 25494

This theorem is used by:  cphlvec  25501  cphcjcl  25509  cphipcl  25517  cphnmf  25521  cphipcj  25525  cphorthcom  25527  cphip0l  25528  cphip0r  25529  cphipeq0  25530  cphdir  25531  cphdi  25532  cph2di  25533  cphsubdir  25534  cphsubdi  25535  cph2subdi  25536  cphass  25537  cphassr  25538  ipcau  25564  nmparlem  25565  ipcn  25572  cphsscph  25577  hlphl  25691  cmscsscms  25699  bncssbn  25700  pjthlem2  25764