Theorem cphphl 24022

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphphl	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem cphphl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 24021	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1147	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp1d 1144	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853   ↦ cmpt 5120   “ cima 5539  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  0cc0 10694  +∞cpnf 10829  [,)cico 12902  √csqrt 14761  Basecbs 16666   ↾_s cress 16667  Scalarcsca 16752  ·_𝑖cip 16754  ℂ_fldccnfld 20317  PreHilcphl 20540  normcnm 23428  NrmModcnlm 23432  ℂPreHilccph 24017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-nul 5184

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-xp 5542  df-cnv 5544  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fv 6366  df-ov 7194  df-cph 24019

This theorem is referenced by:  cphlvec  24026  cphcjcl  24034  cphipcl  24042  cphnmf  24046  cphipcj  24050  cphorthcom  24052  cphip0l  24053  cphip0r  24054  cphipeq0  24055  cphdir  24056  cphdi  24057  cph2di  24058  cphsubdir  24059  cphsubdi  24060  cph2subdi  24061  cphass  24062  cphassr  24063  ipcau  24089  nmparlem  24090  ipcn  24097  cphsscph  24102  hlphl  24216  cmscsscms  24224  bncssbn  24225  pjthlem2  24289