Theorem cphphl 25525

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphphl	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem cphphl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 25524	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1163	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp1d 1160	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ↦ cmpt 5190   “ cima 5659  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  +∞cpnf 11370  [,)cico 13508  √csqrt 15432  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  Scalarcsca 17463  ·_𝑖cip 17465  ℂ_fldccnfld 21711  PreHilcphl 21963  normcnm 24928  NrmModcnlm 24932  ℂPreHilccph 25520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-xp 5662  df-cnv 5664  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fv 6569  df-ov 7449  df-cph 25522

This theorem is used by:  cphlvec  25529  cphcjcl  25537  cphipcl  25545  cphnmf  25549  cphipcj  25553  cphorthcom  25555  cphip0l  25556  cphip0r  25557  cphipeq0  25558  cphdir  25559  cphdi  25560  cph2di  25561  cphsubdir  25562  cphsubdi  25563  cph2subdi  25564  cphass  25565  cphassr  25566  ipcau  25592  nmparlem  25593  ipcn  25600  cphsscph  25605  hlphl  25719  cmscsscms  25727  bncssbn  25728  pjthlem2  25792