Theorem cphphl 25405

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphphl	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem cphphl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 25404	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1163	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp1d 1160	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  +∞cpnf 11268  [,)cico 13404  √csqrt 15324  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  Scalarcsca 17351  ·_𝑖cip 17353  ℂ_fldccnfld 21591  PreHilcphl 21843  normcnm 24808  NrmModcnlm 24812  ℂPreHilccph 25400

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-nul 5267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-xp 5665  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420  df-cph 25402

This theorem is used by:  cphlvec  25409  cphcjcl  25417  cphipcl  25425  cphnmf  25429  cphipcj  25433  cphorthcom  25435  cphip0l  25436  cphip0r  25437  cphipeq0  25438  cphdir  25439  cphdi  25440  cph2di  25441  cphsubdir  25442  cphsubdi  25443  cph2subdi  25444  cphass  25445  cphassr  25446  ipcau  25472  nmparlem  25473  ipcn  25480  cphsscph  25485  hlphl  25599  cmscsscms  25607  bncssbn  25608  pjthlem2  25672