Theorem cphphl 23378

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphphl	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Proof of Theorem cphphl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
4		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6	1, 2, 3, 4, 5	iscph 23377	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil ↔ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))) ∧ (√ “ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∩ (0[,)+∞))) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (norm‘𝑊) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (√‘(𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑥)))))
7	6	simp1bi 1136	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → (𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑊 ∈ NrmMod ∧ (Scalar‘𝑊) = (ℂfld ↾s (Base‘(Scalar‘𝑊)))))
8	7	simp1d 1133	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792   ↦ cmpt 4965   “ cima 5358  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  [,)cico 12489  √csqrt 14380  Basecbs 16255   ↾_s cress 16256  Scalarcsca 16341  ·_𝑖cip 16343  ℂ_fldccnfld 20142  PreHilcphl 20367  normcnm 22789  NrmModcnlm 22793  ℂPreHilccph 23373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-nul 5025

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-xp 5361  df-cnv 5363  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fv 6143  df-ov 6925  df-cph 23375

This theorem is referenced by:  cphlvec  23382  cphcjcl  23390  cphipcl  23398  cphnmf  23402  cphipcj  23406  cphorthcom  23408  cphip0l  23409  cphip0r  23410  cphipeq0  23411  cphdir  23412  cphdi  23413  cph2di  23414  cphsubdir  23415  cphsubdi  23416  cph2subdi  23417  cphass  23418  cphassr  23419  ipcau  23444  nmparlem  23445  ipcn  23452  cphsscph  23457  hlphl  23571  cmscsscms  23579  bncssbn  23580  pjthlem2  23644