Theorem cphlmod 25501

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem cphlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25499	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmlmod 25003	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  LModclmod 21141  NrmModcnlm 24905  ℂPreHilccph 25493

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5656  df-cnv 5658  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fv 6547  df-ov 7424  df-nlm 24911  df-cph 25495

This theorem is used by:  cphclm  25516  cph2ass  25540  cphtcphnm  25557  nmparlem  25566  cphipval2  25568  4cphipval2  25569  cphipval  25570  cphsscph  25578  cmscsscms  25700  minveclem1  25751  minveclem2  25753  minveclem4  25759  minveclem6  25761  pjthlem1  25764  pjthlem2  25765