Theorem cphlmod 25102

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem cphlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25100	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmlmod 24594	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  LModclmod 20794  NrmModcnlm 24496  ℂPreHilccph 25094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-nul 5244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-xp 5622  df-cnv 5624  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-nlm 24502  df-cph 25096

This theorem is referenced by:  cphclm  25117  cph2ass  25141  cphtcphnm  25158  nmparlem  25167  cphipval2  25169  4cphipval2  25170  cphipval  25171  cphsscph  25179  cmscsscms  25301  minveclem1  25352  minveclem2  25354  minveclem4  25360  minveclem6  25362  pjthlem1  25365  pjthlem2  25366