Theorem cphlmod 25550

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem cphlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25548	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmlmod 25052	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  LModclmod 21186  NrmModcnlm 24954  ℂPreHilccph 25542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5266

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5664  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fv 6574  df-ov 7454  df-nlm 24960  df-cph 25544

This theorem is used by:  cphclm  25565  cph2ass  25589  cphtcphnm  25606  nmparlem  25615  cphipval2  25617  4cphipval2  25618  cphipval  25619  cphsscph  25627  cmscsscms  25749  minveclem1  25800  minveclem2  25802  minveclem4  25808  minveclem6  25810  pjthlem1  25813  pjthlem2  25814