Theorem cphlmod 25090

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem cphlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 25088	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmlmod 24582	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  LModclmod 20781  NrmModcnlm 24484  ℂPreHilccph 25082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-xp 5629  df-cnv 5631  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7356  df-nlm 24490  df-cph 25084

This theorem is referenced by:  cphclm  25105  cph2ass  25129  cphtcphnm  25146  nmparlem  25155  cphipval2  25157  4cphipval2  25158  cphipval  25159  cphsscph  25167  cmscsscms  25289  minveclem1  25340  minveclem2  25342  minveclem4  25348  minveclem6  25350  pjthlem1  25353  pjthlem2  25354