Theorem cphlmod 24418

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphlmod	⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem cphlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 24416	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
2		nlmlmod 23922	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  LModclmod 20203  NrmModcnlm 23816  ℂPreHilccph 24410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707  ax-nul 5244

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-xp 5613  df-cnv 5615  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fv 6473  df-ov 7319  df-nlm 23822  df-cph 24412

This theorem is referenced by:  cphclm  24433  cph2ass  24457  cphtcphnm  24474  nmparlem  24483  cphipval2  24485  4cphipval2  24486  cphipval  24487  cphsscph  24495  cmscsscms  24617  minveclem1  24668  minveclem2  24670  minveclem4  24676  minveclem6  24678  pjthlem1  24681  pjthlem2  24682