Theorem cusgrexilem1 29369

Description: Lemma 1 for cusgrexi 29373. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
cusgrexilem1	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem cusgrexilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		pwexg 5372	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝒫 𝑉 ∈ V)
3	1, 2	rabexd 5330	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑃 ∈ V)
4		resiexg 7914	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462  𝒫 cpw 4597   I cid 5569   ↾ cres 5674  ‘cfv 6543  2c2 12310  ♯chash 14339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-res 5684

This theorem is referenced by:  usgrexi  29371  cusgrexi  29373  cusgrexg  29374  structtousgr  29375  structtocusgr  29376