Theorem cusgrexilem1 27806

Description: Lemma 1 for cusgrexi 27810. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
cusgrexilem1	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem cusgrexilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		pwexg 5301	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝒫 𝑉 ∈ V)
3	1, 2	rabexd 5257	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑃 ∈ V)
4		resiexg 7761	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4533   I cid 5488   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  2c2 12028  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-res 5601

This theorem is referenced by:  usgrexi  27808  cusgrexi  27810  cusgrexg  27811  structtousgr  27812  structtocusgr  27813