Theorem cusgrexilem1 26570

Description: Lemma 1 for cusgrexi 26574. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
cusgrexilem1	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem cusgrexilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		pwexg 4981	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝒫 𝑉 ∈ V)
3	1, 2	rabexd 4948	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑃 ∈ V)
4		resiexg 7253	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  𝒫 cpw 4298   I cid 5157   ↾ cres 5252  ‘cfv 6030  2c2 11276  ♯chash 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-res 5262

This theorem is referenced by:  usgrexi  26572  cusgrexi  26574  cusgrexg  26575  structtousgr  26576  structtocusgr  26577