Theorem cusgrexilem1 29415

Description: Lemma 1 for cusgrexi 29419. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
cusgrexilem1	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem cusgrexilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		pwexg 5316	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝒫 𝑉 ∈ V)
3	1, 2	rabexd 5278	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝑃 ∈ V)
4		resiexg 7842	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4550   I cid 5510   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  2c2 12177  ♯chash 14234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-res 5628

This theorem is referenced by:  usgrexi  29417  cusgrexi  29419  cusgrexg  29420  structtousgr  29421  structtocusgr  29422