Theorem structtousgr 29462

Description: Any (extensible) structure with a base set can be made a simple graph with the set of pairs of elements of the base set regarded as edges. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.) (Revised by AV, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structtousgr.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
structtousgr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
structtousgr.g	⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
structtousgr.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
structtousgr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem structtousgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structtousgr.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.ef‘ndx) = (.ef‘ndx)
4		structtousgr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
5		structtousgr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)
6		fvex 6919	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
7		structtousgr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
8	7	cusgrexilem1 29456	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
9	6, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
10	7	usgrexilem 29457	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11	6, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
12	2, 3, 4, 5, 9, 11	usgrstrrepe 29252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩) ∈ USGraph)
13	1, 12	eqeltrid 2845	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143   I cid 5577  dom cdm 5685   ↾ cres 5687  –1-1→wf1 6558  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  2c2 12321  ♯chash 14369   Struct cstr 17183   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  .efcedgf 29003  USGraphcusgr 29166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-edgf 29004  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-usgr 29168

This theorem is referenced by:  structtocusgr  29463