MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structtousgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structtousgr 27226
Description: Any (extensible) structure with a base set can be made a simple graph with the set of pairs of elements of the base set regarded as edges. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.) (Revised by AV, 17-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structtousgr.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
structtousgr.s (𝜑𝑆 Struct 𝑋)
structtousgr.g 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
structtousgr.b (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
structtousgr (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem structtousgr
StepHypRef Expression
1 structtousgr.g . 2 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
2 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2824 . . 3 (.ef‘ndx) = (.ef‘ndx)
4 structtousgr.s . . 3 (𝜑𝑆 Struct 𝑋)
5 structtousgr.b . . 3 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)
6 fvex 6666 . . . 4 (Base‘𝑆) ∈ V
7 structtousgr.p . . . . 5 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
87cusgrexilem1 27220 . . . 4 ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
96, 8mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
107usgrexilem 27221 . . . 4 ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
116, 10mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
122, 3, 4, 5, 9, 11usgrstrrepe 27016 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩) ∈ USGraph)
131, 12eqeltrid 2920 1 (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  {crab 3136  Vcvv 3479  𝒫 cpw 4520  cop 4554   class class class wbr 5049   I cid 5442  dom cdm 5538  cres 5540  1-1wf1 6335  cfv 6338  (class class class)co 7140  2c2 11680  chash 13686   Struct cstr 16470  ndxcnx 16471   sSet csts 16472  Basecbs 16474  .efcedgf 26773  USGraphcusgr 26933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-edgf 26774  df-vtx 26782  df-iedg 26783  df-usgr 26935
This theorem is referenced by:  structtocusgr  27227
  Copyright terms: Public domain W3C validator