Theorem structtousgr 28966

Description: Any (extensible) structure with a base set can be made a simple graph with the set of pairs of elements of the base set regarded as edges. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.) (Revised by AV, 17-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structtousgr.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
structtousgr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
structtousgr.g	⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
structtousgr.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
structtousgr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem structtousgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structtousgr.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.ef‘ndx) = (.ef‘ndx)
4		structtousgr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
5		structtousgr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)
6		fvex 6905	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
7		structtousgr.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
8	7	cusgrexilem1 28960	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
9	6, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
10	7	usgrexilem 28961	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11	6, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
12	2, 3, 4, 5, 9, 11	usgrstrrepe 28756	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩) ∈ USGraph)
13	1, 12	eqeltrid 2836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  𝒫 cpw 4603  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   I cid 5574  dom cdm 5677   ↾ cres 5679  –1-1→wf1 6541  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  2c2 12272  ♯chash 14295   Struct cstr 17084   sSet csts 17101  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  .efcedgf 28510  USGraphcusgr 28673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-edgf 28511  df-vtx 28522  df-iedg 28523  df-usgr 28675

This theorem is referenced by:  structtocusgr  28967