Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structtousgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structtousgr 27226
 Description: Any (extensible) structure with a base set can be made a simple graph with the set of pairs of elements of the base set regarded as edges. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.) (Revised by AV, 17-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
structtousgr.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
structtousgr.s (𝜑𝑆 Struct 𝑋)
structtousgr.g 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
structtousgr.b (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
structtousgr (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem structtousgr
StepHypRef Expression
1 structtousgr.g . 2 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
2 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2824 . . 3 (.ef‘ndx) = (.ef‘ndx)
4 structtousgr.s . . 3 (𝜑𝑆 Struct 𝑋)
5 structtousgr.b . . 3 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)
6 fvex 6666 . . . 4 (Base‘𝑆) ∈ V
7 structtousgr.p . . . . 5 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
87cusgrexilem1 27220 . . . 4 ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
96, 8mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
107usgrexilem 27221 . . . 4 ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
116, 10mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
122, 3, 4, 5, 9, 11usgrstrrepe 27016 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩) ∈ USGraph)
131, 12eqeltrid 2920 1 (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3136  Vcvv 3479  𝒫 cpw 4520  ⟨cop 4554   class class class wbr 5049   I cid 5442  dom cdm 5538   ↾ cres 5540  –1-1→wf1 6335  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  2c2 11680  ♯chash 13686   Struct cstr 16470  ndxcnx 16471   sSet csts 16472  Basecbs 16474  .efcedgf 26773  USGraphcusgr 26933 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-edgf 26774  df-vtx 26782  df-iedg 26783  df-usgr 26935 This theorem is referenced by:  structtocusgr  27227
 Copyright terms: Public domain W3C validator