Theorem pwexg 5316

Description: Power set axiom expressed in class notation, with the sethood requirement as an antecedent. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
pwexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem pwexg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 4564	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
2	1	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V))
3		vpwex 5315	. 2 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
4	2, 3	vtoclg 3509	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  𝒫 cpw 4550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-pow 5303

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-v 3438  df-ss 3919  df-pw 4552

This theorem is referenced by:  pwexd  5317  pwex  5318  pwel  5319  abssexg  5320  snexALT  5321  xpexg  7683  uniexr  7696  pwexb  7699  fabexgOLD  7869  pw2eng  8996  2pwne  9046  disjen  9047  domss2  9049  ssenen  9064  fineqvlem  9150  tskwe  9843  ween  9926  acni  9936  acnnum  9943  infpwfien  9953  pwdju1  10082  ackbij1b  10129  fictb  10135  fin2i  10186  isfin2-2  10210  ssfin3ds  10221  fin23lem32  10235  fin23lem39  10241  fin23lem41  10243  isfin1-3  10277  fin1a2lem12  10302  canth3  10452  ondomon  10454  canthnum  10540  canthwe  10542  gchxpidm  10560  hashbcval  16914  restid2  17334  prdsplusg  17362  prdsvsca  17364  ismre  17492  isacs1i  17563  sscpwex  17722  fpwipodrs  18446  acsdrscl  18452  opsrval  21982  toponsspwpw  22838  tgdom  22894  distop  22911  fctop  22920  cctop  22922  ppttop  22923  epttop  22925  cldval  22939  ntrfval  22940  clsfval  22941  neifval  23015  neif  23016  neival  23018  neiptoptop  23047  lpfval  23054  restfpw  23095  islocfin  23433  dissnref  23444  kgenval  23451  dfac14lem  23533  qtopval  23611  isfbas  23745  fbssfi  23753  fsubbas  23783  fgval  23786  filssufil  23828  hauspwpwf1  23903  hauspwpwdom  23904  flimfnfcls  23944  tsmsfbas  24044  eltsms  24049  ustval  24119  utopval  24148  madeval  27794  cusgrexilem1  29418  indv  32831  pwrssmgc  32979  sigaex  34121  sigaval  34122  pwsiga  34141  pwldsys  34168  ldgenpisyslem1  34174  omsval  34304  carsgval  34314  coinflipspace  34492  iscvm  35301  cvmsval  35308  ex-sategoelel  35463  altxpexg  36018  hfpw  36225  fnemeet2  36407  fnejoin1  36408  bj-restpw  37132  elrfi  42733  elrfirn  42734  kelac2  43104  enmappwid  44039  rfovd  44040  fsovrfovd  44048  dssmapfv2d  44057  clsk3nimkb  44079  clsneif1o  44143  clsneicnv  44144  clsneikex  44145  clsneinex  44146  neicvgmex  44156  neicvgel1  44158  pwsal  46359  prproropen  47545  stgrvtx  47991  stgriedg  47992