MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrexg 27799
Description: For each set there is a set of edges so that the set together with these edges is a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
cusgrexg (𝑉𝑊 → ∃𝑒𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
Distinct variable group:   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑒)

Proof of Theorem cusgrexg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6776 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((♯‘𝑦) = 2 ↔ (♯‘𝑥) = 2))
21cbvrabv 3424 . . 3 {𝑦 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑦) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
32cusgrexilem1 27794 . 2 (𝑉𝑊 → ( I ↾ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑦) = 2}) ∈ V)
42cusgrexi 27798 . 2 (𝑉𝑊 → ⟨𝑉, ( I ↾ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑦) = 2})⟩ ∈ ComplUSGraph)
5 opeq2 4806 . . 3 (𝑒 = ( I ↾ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑦) = 2}) → ⟨𝑉, 𝑒⟩ = ⟨𝑉, ( I ↾ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑦) = 2})⟩)
65eleq1d 2823 . 2 (𝑒 = ( I ↾ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑦) = 2}) → (⟨𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph ↔ ⟨𝑉, ( I ↾ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑦) = 2})⟩ ∈ ComplUSGraph))
73, 4, 6spcedv 3535 1 (𝑉𝑊 → ∃𝑒𝑉, 𝑒⟩ ∈ ComplUSGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4534  cop 4568   I cid 5484  cres 5587  cfv 6427  2c2 12016  chash 14032  ComplUSGraphccusgr 27765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-oadd 8289  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-dju 9647  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-hash 14033  df-vtx 27356  df-iedg 27357  df-edg 27406  df-usgr 27509  df-nbgr 27688  df-uvtx 27741  df-cplgr 27766  df-cusgr 27767
This theorem is referenced by:  fusgrmaxsize  27819
  Copyright terms: Public domain W3C validator