Theorem resiexg 7854

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 7161). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 6007	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5267	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900   I cid 5517   × cxp 5621   ↾ cres 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-res 5635

This theorem is referenced by:  ordiso  9423  wdomref  9479  dfac9  10049  relexp0g  14947  relexpsucnnr  14950  ndxarg  17125  idfu2nd  17803  idfu1st  17805  idfucl  17807  funcestrcsetclem4  18068  equivestrcsetc  18077  funcsetcestrclem4  18083  sursubmefmnd  18823  injsubmefmnd  18824  smndex1n0mnd  18839  islinds2  21770  pf1ind  22301  ausgrusgrb  29219  upgrres1lem1  29363  cusgrexilem1  29493  sizusglecusg  29518  pliguhgr  30542  bj-evalid  37250  bj-diagval  37348  poimirlem15  37805  xrnidresex  38600  dib0  41459  dicn0  41487  cdlemn11a  41502  dihord6apre  41551  dihatlat  41629  dihpN  41631  eldioph2lem1  43039  eldioph2lem2  43040  dfrtrcl5  43907  dfrcl2  43952  relexpiidm  43982  ushggricedg  48210  uspgrsprfo  48431  rngcidALTV  48557  ringcidALTV  48591  resipos  49257  cofidvala  49398  cofidval  49401  opf2fval  49687  fucoppc  49692  idfudiag1bas  49806  idfudiag1  49807