Theorem resiexg 7858

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 7165). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 6010	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5261	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   I cid 5520   × cxp 5624   ↾ cres 5628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-res 5638

This theorem is referenced by:  ordiso  9426  wdomref  9482  dfac9  10054  relexp0g  14979  relexpsucnnr  14982  ndxarg  17161  idfu2nd  17839  idfu1st  17841  idfucl  17843  funcestrcsetclem4  18104  equivestrcsetc  18113  funcsetcestrclem4  18119  sursubmefmnd  18859  injsubmefmnd  18860  smndex1n0mnd  18878  islinds2  21807  pf1ind  22334  ausgrusgrb  29252  upgrres1lem1  29396  cusgrexilem1  29526  sizusglecusg  29551  pliguhgr  30576  bj-evalid  37408  bj-diagval  37508  poimirlem15  37976  xrnidresex  38771  dib0  41630  dicn0  41658  cdlemn11a  41673  dihord6apre  41722  dihatlat  41800  dihpN  41802  eldioph2lem1  43212  eldioph2lem2  43213  dfrtrcl5  44080  dfrcl2  44125  relexpiidm  44155  ushggricedg  48421  uspgrsprfo  48642  rngcidALTV  48768  ringcidALTV  48802  resipos  49468  cofidvala  49609  cofidval  49612  opf2fval  49898  fucoppc  49903  idfudiag1bas  50017  idfudiag1  50018