Theorem resiexg 7613

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 6972). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 5910	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5219	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 589	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935   I cid 5453   × cxp 5547   ↾ cres 5551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-res 5561

This theorem is referenced by:  ordiso  8974  wdomref  9030  dfac9  9556  relexp0g  14375  relexpsucnnr  14378  ndxarg  16502  idfu2nd  17141  idfu1st  17143  idfucl  17145  funcestrcsetclem4  17387  equivestrcsetc  17396  funcsetcestrclem4  17402  sursubmefmnd  18055  injsubmefmnd  18056  smndex1n0mnd  18071  pf1ind  20512  islinds2  20951  ausgrusgrb  26944  upgrres1lem1  27085  cusgrexilem1  27215  sizusglecusg  27239  pliguhgr  28257  bj-evalid  34361  bj-diagval  34460  poimirlem15  34901  xrnidresex  35649  dib0  38294  dicn0  38322  cdlemn11a  38337  dihord6apre  38386  dihatlat  38464  dihpN  38466  eldioph2lem1  39350  eldioph2lem2  39351  dfrtrcl5  39982  dfrcl2  40012  relexpiidm  40042  uspgrsprfo  44017  rngcidALTV  44256  ringcidALTV  44319