Theorem resiexg 7863

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 7170). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 6014	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5264	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   I cid 5525   × cxp 5629   ↾ cres 5633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-res 5643

This theorem is referenced by:  ordiso  9431  wdomref  9487  dfac9  10059  relexp0g  14984  relexpsucnnr  14987  ndxarg  17166  idfu2nd  17844  idfu1st  17846  idfucl  17848  funcestrcsetclem4  18109  equivestrcsetc  18118  funcsetcestrclem4  18124  sursubmefmnd  18864  injsubmefmnd  18865  smndex1n0mnd  18883  islinds2  21793  pf1ind  22320  ausgrusgrb  29234  upgrres1lem1  29378  cusgrexilem1  29508  sizusglecusg  29532  pliguhgr  30557  bj-evalid  37388  bj-diagval  37488  poimirlem15  37956  xrnidresex  38751  dib0  41610  dicn0  41638  cdlemn11a  41653  dihord6apre  41702  dihatlat  41780  dihpN  41782  eldioph2lem1  43192  eldioph2lem2  43193  dfrtrcl5  44056  dfrcl2  44101  relexpiidm  44131  ushggricedg  48403  uspgrsprfo  48624  rngcidALTV  48750  ringcidALTV  48784  resipos  49450  cofidvala  49591  cofidval  49594  opf2fval  49880  fucoppc  49885  idfudiag1bas  49999  idfudiag1  50000