Theorem resiexg 7945

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 7241). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 6052	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5285	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   I cid 5549   × cxp 5653   ↾ cres 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-res 5667

This theorem is used by:  ordiso  9534  wdomref  9590  dfac9  10239  relexp0g  15201  relexpsucnnr  15204  ndxarg  17400  idfu2nd  18078  idfu1st  18080  idfucl  18082  funcestrcsetclem4  18343  equivestrcsetc  18352  funcsetcestrclem4  18358  sursubmefmnd  19118  injsubmefmnd  19119  smndex1n0mnd  19137  islinds2  22146  pf1ind  22700  ausgrusgrb  29773  upgrres1lem1  29917  cusgrexilem1  30047  sizusglecusg  30071  pliguhgr  31115  bj-evalid  38187  bj-diagval  38286  poimirlem15  38744  xrnidresex  39553  dib0  42412  dicn0  42440  cdlemn11a  42455  dihord6apre  42504  dihatlat  42582  dihpN  42584  eldioph2lem1  43962  eldioph2lem2  43963  dfrtrcl5  44819  dfrcl2  44864  relexpiidm  44894  ushggricedg  49228  uspgrsprfo  49449  rngcidALTV  49574  ringcidALTV  49608  resipos  50292  cofidvala  50435  cofidval  50438  opf2fval  50743  fucoppc  50748  idfudiag1bas  50862  idfudiag1  50863