Theorem resiexg 7912

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 7217). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 6049	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5288	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   I cid 5553   × cxp 5657   ↾ cres 5661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-res 5671

This theorem is used by:  ordiso  9491  wdomref  9547  dfac9  10142  relexp0g  15097  relexpsucnnr  15100  ndxarg  17292  idfu2nd  17970  idfu1st  17972  idfucl  17974  funcestrcsetclem4  18235  equivestrcsetc  18244  funcsetcestrclem4  18250  sursubmefmnd  19006  injsubmefmnd  19007  smndex1n0mnd  19025  islinds2  22027  pf1ind  22581  ausgrusgrb  29611  upgrres1lem1  29755  cusgrexilem1  29885  sizusglecusg  29909  pliguhgr  30953  bj-evalid  37813  bj-diagval  37913  poimirlem15  38371  xrnidresex  39165  dib0  42024  dicn0  42052  cdlemn11a  42067  dihord6apre  42116  dihatlat  42194  dihpN  42196  eldioph2lem1  43592  eldioph2lem2  43593  dfrtrcl5  44456  dfrcl2  44501  relexpiidm  44531  ushggricedg  48830  uspgrsprfo  49051  rngcidALTV  49176  ringcidALTV  49210  resipos  49888  cofidvala  50029  cofidval  50032  opf2fval  50318  fucoppc  50323  idfudiag1bas  50437  idfudiag1  50438