Theorem resiexg 7735

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 7073). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 5945	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5242	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   I cid 5479   × cxp 5578   ↾ cres 5582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-res 5592

This theorem is referenced by:  ordiso  9205  wdomref  9261  dfac9  9823  relexp0g  14661  relexpsucnnr  14664  ndxarg  16825  idfu2nd  17508  idfu1st  17510  idfucl  17512  funcestrcsetclem4  17776  equivestrcsetc  17785  funcsetcestrclem4  17791  sursubmefmnd  18450  injsubmefmnd  18451  smndex1n0mnd  18466  islinds2  20930  pf1ind  21431  ausgrusgrb  27438  upgrres1lem1  27579  cusgrexilem1  27709  sizusglecusg  27733  pliguhgr  28749  bj-evalid  35174  bj-diagval  35272  poimirlem15  35719  xrnidresex  36460  dib0  39105  dicn0  39133  cdlemn11a  39148  dihord6apre  39197  dihatlat  39275  dihpN  39277  eldioph2lem1  40498  eldioph2lem2  40499  dfrtrcl5  41126  dfrcl2  41171  relexpiidm  41201  uspgrsprfo  45198  rngcidALTV  45437  ringcidALTV  45500