Theorem resiexg 7670

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 7009). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 5901	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5201	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 590	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ⊆ wss 3853   I cid 5439   × cxp 5534   ↾ cres 5538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-res 5548

This theorem is referenced by:  ordiso  9110  wdomref  9166  dfac9  9715  relexp0g  14550  relexpsucnnr  14553  ndxarg  16690  idfu2nd  17337  idfu1st  17339  idfucl  17341  funcestrcsetclem4  17604  equivestrcsetc  17613  funcsetcestrclem4  17619  sursubmefmnd  18277  injsubmefmnd  18278  smndex1n0mnd  18293  islinds2  20729  pf1ind  21225  ausgrusgrb  27210  upgrres1lem1  27351  cusgrexilem1  27481  sizusglecusg  27505  pliguhgr  28521  bj-evalid  34931  bj-diagval  35029  poimirlem15  35478  xrnidresex  36219  dib0  38864  dicn0  38892  cdlemn11a  38907  dihord6apre  38956  dihatlat  39034  dihpN  39036  eldioph2lem1  40226  eldioph2lem2  40227  dfrtrcl5  40854  dfrcl2  40900  relexpiidm  40930  uspgrsprfo  44926  rngcidALTV  45165  ringcidALTV  45228