MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resiexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resiexg 7605
Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 6959). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
resiexg (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg
StepHypRef Expression
1 idssxp 5887 . 2 ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2 sqxpexg 7461 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3 ssexg 5194 . 2 ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
41, 2, 3sylancr 590 1 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  Vcvv 3444  wss 3884   I cid 5427   × cxp 5521  cres 5525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-res 5535
This theorem is referenced by:  ordiso  8968  wdomref  9024  dfac9  9551  relexp0g  14376  relexpsucnnr  14379  ndxarg  16503  idfu2nd  17142  idfu1st  17144  idfucl  17146  funcestrcsetclem4  17388  equivestrcsetc  17397  funcsetcestrclem4  17403  sursubmefmnd  18056  injsubmefmnd  18057  smndex1n0mnd  18072  islinds2  20505  pf1ind  20982  ausgrusgrb  26961  upgrres1lem1  27102  cusgrexilem1  27232  sizusglecusg  27256  pliguhgr  28272  bj-evalid  34486  bj-diagval  34584  poimirlem15  35065  xrnidresex  35808  dib0  38453  dicn0  38481  cdlemn11a  38496  dihord6apre  38545  dihatlat  38623  dihpN  38625  eldioph2lem1  39688  eldioph2lem2  39689  dfrtrcl5  40316  dfrcl2  40362  relexpiidm  40392  uspgrsprfo  44363  rngcidALTV  44602  ringcidALTV  44665
  Copyright terms: Public domain W3C validator