Theorem resiexg 7924

Description: The existence of a restricted identity function, proved without using the Axiom of Replacement (unlike resfunexg 7221). (Contributed by NM, 13-Jan-2007.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
resiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem resiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idssxp 6040	. 2 ⊢ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴)
2		sqxpexg 7769	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
3		ssexg 5280	. 2 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ∧ (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   I cid 5544   × cxp 5648   ↾ cres 5652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-res 5662

This theorem is used by:  ordiso  9510  wdomref  9566  dfac9  10215  relexp0g  15175  relexpsucnnr  15178  ndxarg  17374  idfu2nd  18052  idfu1st  18054  idfucl  18056  funcestrcsetclem4  18317  equivestrcsetc  18326  funcsetcestrclem4  18332  sursubmefmnd  19092  injsubmefmnd  19093  smndex1n0mnd  19111  islinds2  22119  pf1ind  22673  ausgrusgrb  29746  upgrres1lem1  29890  cusgrexilem1  30020  sizusglecusg  30044  pliguhgr  31088  bj-evalid  37997  bj-diagval  38096  poimirlem15  38554  xrnidresex  39363  dib0  42222  dicn0  42250  cdlemn11a  42265  dihord6apre  42314  dihatlat  42392  dihpN  42394  eldioph2lem1  43771  eldioph2lem2  43772  dfrtrcl5  44629  dfrcl2  44674  relexpiidm  44704  ushggricedg  49025  uspgrsprfo  49246  rngcidALTV  49371  ringcidALTV  49405  resipos  50083  cofidvala  50224  cofidval  50227  opf2fval  50513  fucoppc  50518  idfudiag1bas  50632  idfudiag1  50633