Theorem structtocusgr 27228

Description: Any (extensible) structure with a base set can be made a complete simple graph with the set of pairs of elements of the base set regarded as edges. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.) (Revised by AV, 17-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
structtousgr.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
structtousgr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
structtousgr.g	⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
structtousgr.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
structtocusgr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem structtocusgr

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structtousgr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		structtousgr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		structtousgr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
4		structtousgr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	structtousgr 27227	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
6		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺))
7		eldifi 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
8	6, 7	anim12ci 615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)))
9		eldifsni 4722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ≠ 𝑣)
10	9	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑛 ≠ 𝑣)
11		fvexd 6685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → (Base‘𝑆) ∈ V)
12	3	fveq2i 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩))
13		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.ef‘ndx) = (.ef‘ndx)
14		fvex 6683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
15	1	cusgrexilem1 27221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
17	13, 2, 4, 16	setsvtx 26820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)) = (Base‘𝑆))
18	12, 17	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝑆))
19	18	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ (Base‘𝑆)))
20	19	biimpa 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑆))
21	20	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑆))
22	18	difeq1d 4098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) = ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣}))
23	22	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) ↔ 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})))
24	23	biimpd 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})))
25	24	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})))
26	25	imp 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣}))
27	1	cusgrexilem2 27224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Base‘𝑆) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
28	11, 21, 26, 27	syl21anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
29		edgval 26834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
30	3	fveq2i 6673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩))
31	13, 2, 4, 16	setsiedg 26821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)) = ( I ↾ 𝑃))
32	30, 31	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ( I ↾ 𝑃))
33	32	rneqd 5808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran ( I ↾ 𝑃))
34	29, 33	syl5eq 2868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran ( I ↾ 𝑃))
35	34	rexeqdv 3416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
36	35	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
37	28, 36	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
38		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
39		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
40	38, 39	nbgrel 27122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
41	8, 10, 37, 40	syl3anbrc 1339	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
42	41	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
43	38	uvtxel 27170	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
44	6, 42, 43	sylanbrc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
45	44	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
46	5	elexd 3514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
47	38	iscplgr 27197	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
48	46, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
49	45, 48	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ComplGraph)
50		iscusgr 27200	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
51	5, 49, 50	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  {csn 4567  {cpr 4569  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066   I cid 5459  dom cdm 5555  ran crn 5556   ↾ cres 5557  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  2c2 11693  ♯chash 13691   Struct cstr 16479  ndxcnx 16480   sSet csts 16481  Basecbs 16483  .efcedgf 26774  Vtxcvtx 26781  iEdgciedg 26782  Edgcedg 26832  USGraphcusgr 26934   NeighbVtx cnbgr 27114  UnivVtxcuvtx 27167  ComplGraphccplgr 27191  ComplUSGraphccusgr 27192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-edgf 26775  df-vtx 26783  df-iedg 26784  df-edg 26833  df-usgr 26936  df-nbgr 27115  df-uvtx 27168  df-cplgr 27193  df-cusgr 27194

This theorem is referenced by:  cffldtocusgr  27229