Theorem structtocusgr 30054

Description: Any (extensible) structure with a base set can be made a complete simple graph with the set of pairs of elements of the base set regarded as edges. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.) (Revised by AV, 17-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
structtousgr.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
structtousgr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
structtousgr.g	⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
structtousgr.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
structtocusgr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem structtocusgr

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structtousgr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		structtousgr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		structtousgr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
4		structtousgr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	structtousgr 30053	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
6		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺))
7		eldifi 4070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
8	6, 7	anim12ci 626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)))
9		eldifsni 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ≠ 𝑣)
10	9	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑛 ≠ 𝑣)
11		fvexd 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → (Base‘𝑆) ∈ V)
12	3	fveq2i 6908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩))
13		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.ef‘ndx) = (.ef‘ndx)
14		fvex 6918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
15	1	cusgrexilem1 30047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
16	14, 15	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
17	13, 2, 4, 16	setsvtx 29640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)) = (Base‘𝑆))
18	12, 17	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝑆))
19	18	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ (Base‘𝑆)))
20	19	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑆))
21	20	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑆))
22	18	difeq1d 4065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) = ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣}))
23	22	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) ↔ 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})))
24	23	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})))
26	25	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣}))
27	1	cusgrexilem2 30050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Base‘𝑆) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
28	11, 21, 26, 27	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
29		edgval 29654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
30	3	fveq2i 6908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩))
31	13, 2, 4, 16	setsiedg 29641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)) = ( I ↾ 𝑃))
32	30, 31	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ( I ↾ 𝑃))
33	32	rneqd 5926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran ( I ↾ 𝑃))
34	29, 33	eqtrid 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran ( I ↾ 𝑃))
35	34	rexeqdv 3324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
37	28, 36	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
38		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
39		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
40	38, 39	nbgrel 29948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
41	8, 10, 37, 40	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
42	41	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
43	38	uvtxel 29996	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
44	6, 42, 43	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
45	44	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
46	5	elexd 3477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
47	38	iscplgr 30023	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
48	46, 47	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
49	45, 48	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ComplGraph)
50		iscusgr 30026	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
51	5, 49, 50	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   I cid 5549  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  2c2 12421  ♯chash 14498   Struct cstr 17350   sSet csts 17367  ndxcnx 17397  Basecbs 17413  .efcedgf 29593  Vtxcvtx 29601  iEdgciedg 29602  Edgcedg 29652  USGraphcusgr 29757   NeighbVtx cnbgr 29940  UnivVtxcuvtx 29993  ComplGraphccplgr 30017  ComplUSGraphccusgr 30018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-edgf 29594  df-vtx 29603  df-iedg 29604  df-edg 29653  df-usgr 29759  df-nbgr 29941  df-uvtx 29994  df-cplgr 30019  df-cusgr 30020

This theorem is used by:  cffldtocusgr  30055