MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structtocusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structtocusgr 29246
Description: Any (extensible) structure with a base set can be made a complete simple graph with the set of pairs of elements of the base set regarded as edges. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.) (Revised by AV, 17-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
structtousgr.p 𝑃 = {π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}
structtousgr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 Struct 𝑋)
structtousgr.g 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩)
structtousgr.b (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
structtocusgr (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑆   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem structtocusgr
Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 structtousgr.p . . 3 𝑃 = {π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}
2 structtousgr.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 Struct 𝑋)
3 structtousgr.g . . 3 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩)
4 structtousgr.b . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆)
51, 2, 3, 4structtousgr 29245 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
6 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
7 eldifi 4122 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) β†’ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
86, 7anim12ci 613 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ (𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
9 eldifsni 4789 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) β†’ 𝑛 β‰  𝑣)
109adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ 𝑛 β‰  𝑣)
11 fvexd 6906 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ (Baseβ€˜π‘†) ∈ V)
123fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜(𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩))
13 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . 14 (.efβ€˜ndx) = (.efβ€˜ndx)
14 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜π‘†) ∈ V
151cusgrexilem1 29239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Baseβ€˜π‘†) ∈ V β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ V)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ V)
1713, 2, 4, 16setsvtx 28835 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜(𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩)) = (Baseβ€˜π‘†))
1812, 17eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘†))
1918eleq2d 2814 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
2019biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2120adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2218difeq1d 4117 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) = ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣}))
2322eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) ↔ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣})))
2423biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) β†’ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣})))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) β†’ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣})))
2625imp 406 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣}))
271cusgrexilem2 29242 . . . . . . . . 9 ((((Baseβ€˜π‘†) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran ( I β†Ύ 𝑃){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒)
2811, 21, 26, 27syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran ( I β†Ύ 𝑃){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒)
29 edgval 28849 . . . . . . . . . . 11 (Edgβ€˜πΊ) = ran (iEdgβ€˜πΊ)
303fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜(𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩))
3113, 2, 4, 16setsiedg 28836 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜(𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩)) = ( I β†Ύ 𝑃))
3230, 31eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝑃))
3332rneqd 5934 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran (iEdgβ€˜πΊ) = ran ( I β†Ύ 𝑃))
3429, 33eqtrid 2779 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Edgβ€˜πΊ) = ran ( I β†Ύ 𝑃))
3534rexeqdv 3321 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran ( I β†Ύ 𝑃){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran ( I β†Ύ 𝑃){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒))
3728, 36mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒)
38 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
39 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
4038, 39nbgrel 29140 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒))
418, 10, 37, 40syl3anbrc 1341 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
4241ralrimiva 3141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
4338uvtxel 29188 . . . . 5 (𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ) ↔ (𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
446, 42, 43sylanbrc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ))
4544ralrimiva 3141 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ))
465elexd 3490 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
4738iscplgr 29215 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ)))
4846, 47syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ)))
4945, 48mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ComplGraph)
50 iscusgr 29218 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
515, 49, 50sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142   I cid 5569  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  2c2 12289  β™―chash 14313   Struct cstr 17106   sSet csts 17123  ndxcnx 17153  Basecbs 17171  .efcedgf 28786  Vtxcvtx 28796  iEdgciedg 28797  Edgcedg 28847  USGraphcusgr 28949   NeighbVtx cnbgr 29132  UnivVtxcuvtx 29185  ComplGraphccplgr 29209  ComplUSGraphccusgr 29210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-edgf 28787  df-vtx 28798  df-iedg 28799  df-edg 28848  df-usgr 28951  df-nbgr 29133  df-uvtx 29186  df-cplgr 29211  df-cusgr 29212
This theorem is referenced by:  cffldtocusgr  29247  cffldtocusgrOLD  29248
  Copyright terms: Public domain W3C validator