Theorem structtocusgr 28967

Description: Any (extensible) structure with a base set can be made a complete simple graph with the set of pairs of elements of the base set regarded as edges. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.) (Revised by AV, 17-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
structtousgr.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
structtousgr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
structtousgr.g	⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
structtousgr.b	⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
structtocusgr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem structtocusgr

Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structtousgr.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2		structtousgr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 Struct 𝑋)
3		structtousgr.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
4		structtousgr.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝑆)
5	1, 2, 3, 4	structtousgr 28966	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺))
7		eldifi 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺))
8	6, 7	anim12ci 613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → (𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)))
9		eldifsni 4794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ≠ 𝑣)
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑛 ≠ 𝑣)
11		fvexd 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → (Base‘𝑆) ∈ V)
12	3	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩))
13		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.ef‘ndx) = (.ef‘ndx)
14		fvex 6905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
15	1	cusgrexilem1 28960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
17	13, 2, 4, 16	setsvtx 28559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)) = (Base‘𝑆))
18	12, 17	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝑆))
19	18	eleq2d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑣 ∈ (Base‘𝑆)))
20	19	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑆))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑆))
22	18	difeq1d 4122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) = ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣}))
23	22	eleq2d 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) ↔ 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})))
24	23	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣}) → 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})))
26	25	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣}))
27	1	cusgrexilem2 28963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((Base‘𝑆) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑛 ∈ ((Base‘𝑆) ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
28	11, 21, 26, 27	syl21anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
29		edgval 28573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
30	3	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩))
31	13, 2, 4, 16	setsiedg 28560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘(𝑆 sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)) = ( I ↾ 𝑃))
32	30, 31	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = ( I ↾ 𝑃))
33	32	rneqd 5938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran ( I ↾ 𝑃))
34	29, 33	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran ( I ↾ 𝑃))
35	34	rexeqdv 3325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
36	35	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → (∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒 ∈ ran ( I ↾ 𝑃){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
37	28, 36	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒)
38		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
39		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
40	38, 39	nbgrel 28861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ≠ 𝑣 ∧ ∃𝑒 ∈ (Edg‘𝐺){𝑣, 𝑛} ⊆ 𝑒))
41	8, 10, 37, 40	syl3anbrc 1342	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})) → 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
42	41	ralrimiva 3145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
43	38	uvtxel 28909	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑛 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
44	6, 42, 43	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
45	44	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
46	5	elexd 3494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
47	38	iscplgr 28936	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
48	46, 47	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑣 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
49	45, 48	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ComplGraph)
50		iscusgr 28939	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
51	5, 49, 50	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   I cid 5574  dom cdm 5677  ran crn 5678   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  2c2 12272  ♯chash 14295   Struct cstr 17084   sSet csts 17101  ndxcnx 17131  Basecbs 17149  .efcedgf 28510  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  Edgcedg 28571  USGraphcusgr 28673   NeighbVtx cnbgr 28853  UnivVtxcuvtx 28906  ComplGraphccplgr 28930  ComplUSGraphccusgr 28931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-edgf 28511  df-vtx 28522  df-iedg 28523  df-edg 28572  df-usgr 28675  df-nbgr 28854  df-uvtx 28907  df-cplgr 28932  df-cusgr 28933

This theorem is referenced by:  cffldtocusgr  28968  gg-cffldtocusgr  35486