MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  structtocusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem structtocusgr 28703
Description: Any (extensible) structure with a base set can be made a complete simple graph with the set of pairs of elements of the base set regarded as edges. (Contributed by AV, 10-Nov-2021.) (Revised by AV, 17-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
structtousgr.p 𝑃 = {π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}
structtousgr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 Struct 𝑋)
structtousgr.g 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩)
structtousgr.b (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
structtocusgr (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑆   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem structtocusgr
Dummy variables 𝑒 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 structtousgr.p . . 3 𝑃 = {π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∣ (β™―β€˜π‘₯) = 2}
2 structtousgr.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 Struct 𝑋)
3 structtousgr.g . . 3 𝐺 = (𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩)
4 structtousgr.b . . 3 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ dom 𝑆)
51, 2, 3, 4structtousgr 28702 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
6 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
7 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) β†’ 𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
86, 7anim12ci 615 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ (𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)))
9 eldifsni 4794 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) β†’ 𝑛 β‰  𝑣)
109adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ 𝑛 β‰  𝑣)
11 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ (Baseβ€˜π‘†) ∈ V)
123fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜(𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (.efβ€˜ndx) = (.efβ€˜ndx)
14 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜π‘†) ∈ V
151cusgrexilem1 28696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Baseβ€˜π‘†) ∈ V β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ V)
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ 𝑃) ∈ V)
1713, 2, 4, 16setsvtx 28295 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜(𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩)) = (Baseβ€˜π‘†))
1812, 17eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘†))
1918eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘†)))
2019biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2218difeq1d 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) = ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣}))
2322eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) ↔ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣})))
2423biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) β†’ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣})))
2524adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣}) β†’ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣})))
2625imp 408 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣}))
271cusgrexilem2 28699 . . . . . . . . 9 ((((Baseβ€˜π‘†) ∈ V ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ 𝑛 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) βˆ– {𝑣})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran ( I β†Ύ 𝑃){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒)
2811, 21, 26, 27syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran ( I β†Ύ 𝑃){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒)
29 edgval 28309 . . . . . . . . . . 11 (Edgβ€˜πΊ) = ran (iEdgβ€˜πΊ)
303fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜(𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩))
3113, 2, 4, 16setsiedg 28296 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜(𝑆 sSet ⟨(.efβ€˜ndx), ( I β†Ύ 𝑃)⟩)) = ( I β†Ύ 𝑃))
3230, 31eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = ( I β†Ύ 𝑃))
3332rneqd 5938 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran (iEdgβ€˜πΊ) = ran ( I β†Ύ 𝑃))
3429, 33eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Edgβ€˜πΊ) = ran ( I β†Ύ 𝑃))
3534rexeqdv 3327 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran ( I β†Ύ 𝑃){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒))
3635ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran ( I β†Ύ 𝑃){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒))
3728, 36mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒)
38 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
39 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
4038, 39nbgrel 28597 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑛 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 β‰  𝑣 ∧ βˆƒπ‘’ ∈ (Edgβ€˜πΊ){𝑣, 𝑛} βŠ† 𝑒))
418, 10, 37, 40syl3anbrc 1344 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑛 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})) β†’ 𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
4241ralrimiva 3147 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣))
4338uvtxel 28645 . . . . 5 (𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ) ↔ (𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘› ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {𝑣})𝑛 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)))
446, 42, 43sylanbrc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ 𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ))
4544ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ))
465elexd 3495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ V)
4738iscplgr 28672 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ)))
4846, 47syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)𝑣 ∈ (UnivVtxβ€˜πΊ)))
4945, 48mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ComplGraph)
50 iscusgr 28675 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
515, 49, 50sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   I cid 5574  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  2c2 12267  β™―chash 14290   Struct cstr 17079   sSet csts 17096  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  .efcedgf 28246  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  Edgcedg 28307  USGraphcusgr 28409   NeighbVtx cnbgr 28589  UnivVtxcuvtx 28642  ComplGraphccplgr 28666  ComplUSGraphccusgr 28667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-edgf 28247  df-vtx 28258  df-iedg 28259  df-edg 28308  df-usgr 28411  df-nbgr 28590  df-uvtx 28643  df-cplgr 28668  df-cusgr 28669
This theorem is referenced by:  cffldtocusgr  28704
  Copyright terms: Public domain W3C validator