MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrexi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexi 26894
Description: An arbitrary set regarded as vertices together with the set of pairs of elements of this set regarded as edges is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Nov-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrexi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Assertion
Ref Expression
usgrexi (𝑉𝑊 → ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃   𝑥,𝑊

Proof of Theorem usgrexi
StepHypRef Expression
1 usgrexi.p . . . 4 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
21usgrexilem 26893 . . 3 (𝑉𝑊 → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
31cusgrexilem1 26892 . . . . 5 (𝑉𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
4 opiedgfv 26463 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = ( I ↾ 𝑃))
53, 4mpdan 683 . . . 4 (𝑉𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = ( I ↾ 𝑃))
65dmeqd 5652 . . . 4 (𝑉𝑊 → dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = dom ( I ↾ 𝑃))
7 opvtxfv 26460 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝑉)
83, 7mpdan 683 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝑉)
98pweqd 4452 . . . . 5 (𝑉𝑊 → 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝒫 𝑉)
109rabeqdv 3424 . . . 4 (𝑉𝑊 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
115, 6, 10f1eq123d 6468 . . 3 (𝑉𝑊 → ((iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
122, 11mpbird 258 . 2 (𝑉𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13 opex 5241 . . 3 𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ V
14 eqid 2793 . . . 4 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)
15 eqid 2793 . . . 4 (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)
1614, 15isusgrs 26612 . . 3 (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ V → (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
1713, 16mp1i 13 . 2 (𝑉𝑊 → (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
1812, 17mpbird 258 1 (𝑉𝑊 → ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1520  wcel 2079  {crab 3107  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4447  cop 4472   I cid 5339  dom cdm 5435  cres 5437  1-1wf1 6214  cfv 6217  2c2 11529  chash 13528  Vtxcvtx 26452  iEdgciedg 26453  USGraphcusgr 26605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-hash 13529  df-vtx 26454  df-iedg 26455  df-usgr 26607
This theorem is referenced by:  cusgrexi  26896
  Copyright terms: Public domain W3C validator