Theorem usgrexi 27711

Description: An arbitrary set regarded as vertices together with the set of pairs of elements of this set regarded as edges is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
usgrexi	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃   𝑥,𝑊

Proof of Theorem usgrexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2	1	usgrexilem 27710	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3	1	cusgrexilem1 27709	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
4		opiedgfv 27280	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = ( I ↾ 𝑃))
5	3, 4	mpdan 683	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = ( I ↾ 𝑃))
6	5	dmeqd 5803	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = dom ( I ↾ 𝑃))
7		opvtxfv 27277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝑉)
8	3, 7	mpdan 683	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝑉)
9	8	pweqd 4549	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝒫 𝑉)
10	9	rabeqdv 3409	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11	5, 6, 10	f1eq123d 6692	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	2, 11	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13		opex 5373	. . 3 ⊢ ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ V
14		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)
16	14, 15	isusgrs 27429	. . 3 ⊢ (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ V → (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
17	13, 16	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
18	12, 17	mpbird 256	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422  𝒫 cpw 4530  ⟨cop 4564   I cid 5479  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  –1-1→wf1 6415  ‘cfv 6418  2c2 11958  ♯chash 13972  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  USGraphcusgr 27422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-vtx 27271  df-iedg 27272  df-usgr 27424

This theorem is referenced by:  cusgrexi  27713