Theorem usgrexi 26571

Description: An arbitrary set regarded as vertices together with the set of pairs of elements of this set regarded as edges is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
usgrexi	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃   𝑥,𝑊

Proof of Theorem usgrexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2	1	usgrexilem 26570	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3	1	cusgrexilem1 26569	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
4		opiedgfv 26107	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = ( I ↾ 𝑃))
5	3, 4	mpdan 670	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = ( I ↾ 𝑃))
6	5	dmeqd 5534	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = dom ( I ↾ 𝑃))
7		opvtxfv 26104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝑉)
8	3, 7	mpdan 670	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝑉)
9	8	pweqd 4363	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝒫 𝑉)
10	9	rabeqdv 3391	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11	5, 6, 10	f1eq123d 6350	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	2, 11	mpbird 248	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13		opex 5129	. . 3 ⊢ ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ V
14		eqid 2813	. . . 4 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)
15		eqid 2813	. . . 4 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)
16	14, 15	isusgrs 26272	. . 3 ⊢ (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ V → (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
17	13, 16	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
18	12, 17	mpbird 248	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   = wceq 1637   ∈ wcel 2157  {crab 3107  Vcvv 3398  𝒫 cpw 4358  ⟨cop 4383   I cid 5225  dom cdm 5318   ↾ cres 5320  –1-1→wf1 6101  ‘cfv 6104  2c2 11359  ♯chash 13340  Vtxcvtx 26094  iEdgciedg 26095  USGraphcusgr 26265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-fz 12553  df-hash 13341  df-vtx 26096  df-iedg 26097  df-usgr 26267

This theorem is referenced by:  cusgrexi  26573