Theorem usgrexi 27204

Description: An arbitrary set regarded as vertices together with the set of pairs of elements of this set regarded as edges is a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 5-Nov-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
usgrexi.p	⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Assertion

Ref	Expression
usgrexi	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑃   𝑥,𝑊

Proof of Theorem usgrexi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2	1	usgrexilem 27203	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3	1	cusgrexilem1 27202	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ( I ↾ 𝑃) ∈ V)
4		opiedgfv 26773	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = ( I ↾ 𝑃))
5	3, 4	mpdan 685	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = ( I ↾ 𝑃))
6	5	dmeqd 5755	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = dom ( I ↾ 𝑃))
7		opvtxfv 26770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ( I ↾ 𝑃) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝑉)
8	3, 7	mpdan 685	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝑉)
9	8	pweqd 4539	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = 𝒫 𝑉)
10	9	rabeqdv 3471	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11	5, 6, 10	f1eq123d 6589	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ( I ↾ 𝑃):dom ( I ↾ 𝑃)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
12	2, 11	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
13		opex 5337	. . 3 ⊢ ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ V
14		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)
15		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) = (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)
16	14, 15	isusgrs 26922	. . 3 ⊢ (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ V → (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
17	13, 16	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → (⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph ↔ (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩):dom (iEdg‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩) ∣ (♯‘𝑥) = 2}))
18	12, 17	mpbird 259	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ⟨𝑉, ( I ↾ 𝑃)⟩ ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3137  Vcvv 3481  𝒫 cpw 4520  ⟨cop 4554   I cid 5440  dom cdm 5536   ↾ cres 5538  –1-1→wf1 6333  ‘cfv 6336  2c2 11674  ♯chash 13675  Vtxcvtx 26762  iEdgciedg 26763  USGraphcusgr 26915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7442  ax-cnex 10574  ax-resscn 10575  ax-1cn 10576  ax-icn 10577  ax-addcl 10578  ax-addrcl 10579  ax-mulcl 10580  ax-mulrcl 10581  ax-mulcom 10582  ax-addass 10583  ax-mulass 10584  ax-distr 10585  ax-i2m1 10586  ax-1ne0 10587  ax-1rid 10588  ax-rnegex 10589  ax-rrecex 10590  ax-cnre 10591  ax-pre-lttri 10592  ax-pre-lttrn 10593  ax-pre-ltadd 10594  ax-pre-mulgt0 10595

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3012  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7095  df-ov 7140  df-oprab 7141  df-mpo 7142  df-om 7562  df-1st 7670  df-2nd 7671  df-wrecs 7928  df-recs 7989  df-rdg 8027  df-1o 8083  df-er 8270  df-en 8491  df-dom 8492  df-sdom 8493  df-fin 8494  df-card 9349  df-pnf 10658  df-mnf 10659  df-xr 10660  df-ltxr 10661  df-le 10662  df-sub 10853  df-neg 10854  df-nn 11620  df-2 11682  df-n0 11880  df-z 11964  df-uz 12226  df-fz 12878  df-hash 13676  df-vtx 26764  df-iedg 26765  df-usgr 26917

This theorem is referenced by:  cusgrexi  27206