Theorem dfeldisj2 38710

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj2	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )

Proof of Theorem dfeldisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 38699	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 5976	. . 3 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV2 38706	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ( ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )
5	1, 4	bitri 275	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 206   ⊆ wss 3914   I cid 5532   E cep 5537  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  Rel wrel 5643   ≀ ccoss 38169   Disj wdisjALTV 38203   ElDisj weldisj 38205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-coss 38402  df-cnvrefrel 38518  df-disjALTV 38697  df-eldisj 38699

This theorem is referenced by: (None)