Theorem dfeldisj2 38973

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj2	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )

Proof of Theorem dfeldisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 38962	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 5964	. . 3 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV2 38969	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ( ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )
5	1, 4	bitri 275	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 206   ⊆ wss 3901   I cid 5518   E cep 5523  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626  Rel wrel 5629   ≀ ccoss 38379   Disj wdisjALTV 38413   ElDisj weldisj 38415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-coss 38670  df-cnvrefrel 38776  df-disjALTV 38960  df-eldisj 38962

This theorem is referenced by: (None)