Theorem dfeldisj2 39055

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj2	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )

Proof of Theorem dfeldisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 39037	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 5972	. . 3 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV2 39044	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ( ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 711	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )
5	1, 4	bitri 275	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 206   ⊆ wss 3903   I cid 5526   E cep 5531  ^◡ccnv 5631   ↾ cres 5634  Rel wrel 5637   ≀ ccoss 38428   Disj wdisjALTV 38464   ElDisj weldisj 38466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-coss 38746  df-cnvrefrel 38852  df-disjALTV 39035  df-eldisj 39037

This theorem is referenced by: (None)