Theorem dfeldisj2 39321

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj2	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )

Proof of Theorem dfeldisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 39303	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 5995	. . 3 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV2 39310	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ( ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 722	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )
5	1, 4	bitri 278	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ≀ ◡(◡ E ↾ 𝐴) ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 209   ⊆ wss 3907   I cid 5546   E cep 5551  ^◡ccnv 5651   ↾ cres 5654  Rel wrel 5657   ≀ ccoss 38694   Disj wdisjALTV 38730   ElDisj weldisj 38732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-coss 39012  df-cnvrefrel 39118  df-disjALTV 39301  df-eldisj 39303

This theorem is referenced by: (None)