Theorem dfdisjALTV2 38696

Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV2 38670. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjALTV2	⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfdisjALTV2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disjALTV 38687	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅))
2		cnvrefrelcoss2 38519	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ↔ ≀ ◡𝑅 ⊆ I )
3	2	anbi1i 624	. 2 ⊢ (( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ⊆ wss 3963   I cid 5582  ^◡ccnv 5688  Rel wrel 5694   ≀ ccoss 38162   CnvRefRel wcnvrefrel 38171   Disj wdisjALTV 38196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-coss 38393  df-cnvrefrel 38509  df-disjALTV 38687

This theorem is referenced by:  dfdisjALTV3  38697  dfdisjALTV4  38698  dfdisjALTV5  38699  dfeldisj2  38700  disjxrn  38728  disjorimxrn  38730  disjALTVid  38737