Theorem dfdisjALTV2 39137

Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV2 39111. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjALTV2	⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfdisjALTV2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disjALTV 39128	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅))
2		cnvrefrelcoss2 38955	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ↔ ≀ ◡𝑅 ⊆ I )
3	2	anbi1i 625	. 2 ⊢ (( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ⊆ wss 3890   I cid 5519  ^◡ccnv 5624  Rel wrel 5630   ≀ ccoss 38521   CnvRefRel wcnvrefrel 38530   Disj wdisjALTV 38557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-coss 38839  df-cnvrefrel 38945  df-disjALTV 39128

This theorem is referenced by:  dfdisjALTV3  39138  dfdisjALTV4  39139  dfdisjALTV5  39140  dfeldisj2  39148  disjxrn  39184  disjorimxrn  39186  disjALTVid  39193