Theorem dfdisjALTV2 39468

Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV2 39442. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjALTV2	⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfdisjALTV2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disjALTV 39459	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅))
2		cnvrefrelcoss2 39286	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ↔ ≀ ◡𝑅 ⊆ I )
3	2	anbi1i 635	. 2 ⊢ (( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 278	1 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ⊆ wss 3905   I cid 5555  ^◡ccnv 5660  Rel wrel 5666   ≀ ccoss 38852   CnvRefRel wcnvrefrel 38861   Disj wdisjALTV 38888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-11 2192  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-coss 39170  df-cnvrefrel 39276  df-disjALTV 39459

This theorem is referenced by:  dfdisjALTV3  39469  dfdisjALTV4  39470  dfdisjALTV5  39471  dfeldisj2  39479  disjxrn  39515  disjorimxrn  39517  disjALTVid  39524