Theorem dfdisjALTV2 35983

Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV2 35957. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjALTV2	⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Proof of Theorem dfdisjALTV2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-disjALTV 35974	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅))
2		cnvrefrelcoss2 35809	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ↔ ≀ ◡𝑅 ⊆ I )
3	2	anbi1i 625	. 2 ⊢ (( CnvRefRel ≀ ◡𝑅 ∧ Rel 𝑅) ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 277	1 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ⊆ wss 3933   I cid 5456  ^◡ccnv 5551  Rel wrel 5557   ≀ ccoss 35489   CnvRefRel wcnvrefrel 35498   Disj wdisjALTV 35523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pr 5327

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ral 3142  df-rex 3143  df-rab 3146  df-v 3495  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4465  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-br 5064  df-opab 5126  df-id 5457  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-coss 35695  df-cnvrefrel 35801  df-disjALTV 35974

This theorem is referenced by:  dfdisjALTV3  35984  dfdisjALTV4  35985  dfdisjALTV5  35986  dfeldisj2  35987  disjxrn  36013  disjorimxrn  36014  disjALTVid  36021