Theorem dfdisjALTV5 39111

Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV5 39085. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjALTV5	⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑣

Proof of Theorem dfdisjALTV5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjALTV2 39108	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2		cosscnvssid5 38877	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))
3	1, 2	bitri 275	1 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∀wral 3049   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4263   I cid 5514  ^◡ccnv 5619  dom cdm 5620  Rel wrel 5625  [cec 8630   ≀ ccoss 38492   Disj wdisjALTV 38528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ec 8634  df-coss 38810  df-cnvrefrel 38916  df-disjALTV 39099

This theorem is referenced by:  dfdisjALTV5a  39112  disjlem14  39210