Theorem dfdisjALTV5 39178

Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV5 39152. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjALTV5	⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑣

Proof of Theorem dfdisjALTV5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjALTV2 39175	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2		cosscnvssid5 38944	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))
3	1, 2	bitri 276	1 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547  ∀wral 3053   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262   I cid 5513  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  Rel wrel 5624  [cec 8632   ≀ ccoss 38559   Disj wdisjALTV 38595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-pr 5363

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-br 5074  df-opab 5136  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ec 8636  df-coss 38877  df-cnvrefrel 38983  df-disjALTV 39166

This theorem is referenced by:  dfdisjALTV5a  39179  disjlem14  39277