Theorem dfdisjALTV5 39553

Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV5 39527. (Contributed by Peter Mazsa, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjALTV5	⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑣

Proof of Theorem dfdisjALTV5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjALTV2 39550	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2		cosscnvssid5 39319	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))
3	1, 2	bitri 278	1 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑢 ∈ dom 𝑅∀𝑣 ∈ dom 𝑅(𝑢 = 𝑣 ∨ ([𝑢]𝑅 ∩ [𝑣]𝑅) = ∅) ∧ Rel 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∀wral 3076   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   I cid 5549  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  Rel wrel 5660  [cec 8697   ≀ ccoss 38934   Disj wdisjALTV 38970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8701  df-coss 39252  df-cnvrefrel 39358  df-disjALTV 39541

This theorem is used by:  dfdisjALTV5a  39554  disjlem14  39652