Theorem dfer2 8701

Description: Alternate definition of equivalence predicate. (Contributed by NM, 3-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfer2	⊢ (𝑅 Er 𝐴 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem dfer2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-er 8700	. 2 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ (◡𝑅 ∪ (𝑅 ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑅))
2		cnvsym 6112	. . . . 5 ⊢ (◡𝑅 ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥))
3		cotr 6110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))
4	2, 3	anbi12i 640	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
5		unss 4139	. . . 4 ⊢ ((◡𝑅 ⊆ 𝑅 ∧ (𝑅 ∘ 𝑅) ⊆ 𝑅) ↔ (◡𝑅 ∪ (𝑅 ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑅)
6		19.28v 2029	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
7	6	albii 1852	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
8		19.26 1903	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
9	7, 8	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
10	9	albii 1852	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑥(∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
11		19.26 1903	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
12	10, 11	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
13	4, 5, 12	3bitr3i 304	. . 3 ⊢ ((◡𝑅 ∪ (𝑅 ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧)))
14	13	3anbi3i 1177	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ (◡𝑅 ∪ (𝑅 ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑅) ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))))
15	1, 14	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 Er 𝐴 ↔ (Rel 𝑅 ∧ dom 𝑅 = 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) ∧ ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑧) → 𝑥𝑅𝑧))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ∘ ccom 5663  Rel wrel 5664   Er wer 8697

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-er 8700

This theorem is used by:  iserd  8727  trer  36943  riscer  38746  prter1  39760