Theorem riscer 38562

Description: Ring isomorphism is an equivalence relation. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riscer	⊢ ≃𝑟 Er dom ≃𝑟

Proof of Theorem riscer

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-risc 38557	. . 3 ⊢ ≃𝑟 = {⟨𝑟, 𝑠⟩ ∣ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠))}
2	1	relopabiv 5808	. 2 ⊢ Rel ≃𝑟
3		eqid 2769	. 2 ⊢ dom ≃𝑟 = dom ≃𝑟
4		vex 3465	. . . . . . 7 ⊢ 𝑟 ∈ V
5		vex 3465	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
6	4, 5	isrisc 38559	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ≃𝑟 𝑠 ↔ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)))
7		rngoisocnv 38555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)) → ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟))
8	7	3expia 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) → ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟)))
9		risci 38561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑟 ∈ RingOps ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟)) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟)
10	9	3expia 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑟 ∈ RingOps) → (◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
11	10	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
12	8, 11	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
13	12	exlimdv 1960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
14	13	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟)
15	6, 14	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟)
16		vex 3465	. . . . . . 7 ⊢ 𝑡 ∈ V
17	5, 16	isrisc 38559	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ≃𝑟 𝑡 ↔ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)))
18		exdistrv 1982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)))
19		rngoisoco 38556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) ∧ (𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡))
20	19	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡)))
21		risci 38561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps ∧ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
22	21	3expia 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
23	22	3adant2 1147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
24	20, 23	syld 48	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
25	24	exlimdvv 1961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
26	18, 25	biimtrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
27	26	3expb 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ (𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps)) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
28	27	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ (𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps)) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
29	28	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ (𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps)) ∧ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡))) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
30	29	an4s 672	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)) ∧ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡))) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
31	6, 17, 30	syl2anb 609	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
32	15, 31	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
33	32	ax-gen 1822	. . 3 ⊢ ∀𝑡((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
34	33	gen2 1823	. 2 ⊢ ∀𝑟∀𝑠∀𝑡((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
35		dfer2 8695	. 2 ⊢ ( ≃𝑟 Er dom ≃𝑟 ↔ (Rel ≃𝑟 ∧ dom ≃𝑟 = dom ≃𝑟 ∧ ∀𝑟∀𝑠∀𝑡((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))))
36	2, 3, 34, 35	mpbir3an 1358	1 ⊢ ≃𝑟 Er dom ≃𝑟

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101  ∀wal 1565   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662   ∘ ccom 5666  Rel wrel 5667  (class class class)co 7411   Er wer 8691  RingOpscrngo 38468   RingOpsIso crngoiso 38535   ≃_𝑟 crisc 38536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8694  df-map 8826  df-grpo 30786  df-gid 30787  df-ablo 30838  df-ass 38417  df-exid 38419  df-mgmOLD 38423  df-sgrOLD 38435  df-mndo 38441  df-rngo 38469  df-rngohom 38537  df-rngoiso 38550  df-risc 38557

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