Theorem riscer 38667

Description: Obsolete theorem, use ricer 20615 instead. Ring isomorphism is an equivalence relation. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
riscer	⊢ ≃𝑟 Er dom ≃𝑟

Proof of Theorem riscer

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-risc 38662	. . 3 ⊢ ≃𝑟 = {⟨𝑟, 𝑠⟩ ∣ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠))}
2	1	relopabiv 5806	. 2 ⊢ Rel ≃𝑟
3		eqid 2762	. 2 ⊢ dom ≃𝑟 = dom ≃𝑟
4		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑟 ∈ V
5		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
6	4, 5	isrisc 38664	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ≃𝑟 𝑠 ↔ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)))
7		rngoisocnv 38660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)) → ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟))
8	7	3expia 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) → ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟)))
9		risci 38666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑟 ∈ RingOps ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟)) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟)
10	9	3expia 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑟 ∈ RingOps) → (◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
11	10	ancoms 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
12	8, 11	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
13	12	exlimdv 1962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
14	13	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟)
15	6, 14	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟)
16		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑡 ∈ V
17	5, 16	isrisc 38664	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ≃𝑟 𝑡 ↔ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)))
18		exdistrv 1984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)))
19		rngoisoco 38661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) ∧ (𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡))
20	19	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡)))
21		risci 38666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps ∧ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
22	21	3expia 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
23	22	3adant2 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
24	20, 23	syld 48	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
25	24	exlimdvv 1963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
26	18, 25	biimtrrid 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
27	26	3expb 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ (𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps)) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
28	27	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ (𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps)) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
29	28	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ (𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps)) ∧ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡))) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
30	29	an4s 672	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)) ∧ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡))) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
31	6, 17, 30	syl2anb 609	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
32	15, 31	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
33	32	ax-gen 1824	. . 3 ⊢ ∀𝑡((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
34	33	gen2 1825	. 2 ⊢ ∀𝑟∀𝑠∀𝑡((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
35		dfer2 8693	. 2 ⊢ ( ≃𝑟 Er dom ≃𝑟 ↔ (Rel ≃𝑟 ∧ dom ≃𝑟 = dom ≃𝑟 ∧ ∀𝑟∀𝑠∀𝑡((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))))
36	2, 3, 34, 35	mpbir3an 1359	1 ⊢ ≃𝑟 Er dom ≃𝑟

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102  ∀wal 1567   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5659  dom cdm 5660   ∘ ccom 5664  Rel wrel 5665  (class class class)co 7412   Er wer 8689  RingOpscrngo 38573   RingOpsIso crngoiso 38640   ≃_𝑟 crisc 38641

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-er 8692  df-map 8824  df-grpo 30856  df-gid 30857  df-ablo 30908  df-ass 38522  df-exid 38524  df-mgmOLD 38528  df-sgrOLD 38540  df-mndo 38546  df-rngo 38574  df-rngohom 38642  df-rngoiso 38655  df-risc 38662

This theorem is used by: (None)