Theorem riscer 38128

Description: Ring isomorphism is an equivalence relation. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
riscer	⊢ ≃𝑟 Er dom ≃𝑟

Proof of Theorem riscer

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-risc 38123	. . 3 ⊢ ≃𝑟 = {⟨𝑟, 𝑠⟩ ∣ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠))}
2	1	relopabiv 5767	. 2 ⊢ Rel ≃𝑟
3		eqid 2734	. 2 ⊢ dom ≃𝑟 = dom ≃𝑟
4		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑟 ∈ V
5		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
6	4, 5	isrisc 38125	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ≃𝑟 𝑠 ↔ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)))
7		rngoisocnv 38121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)) → ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟))
8	7	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) → ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟)))
9		risci 38127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑟 ∈ RingOps ∧ ◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟)) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟)
10	9	3expia 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑟 ∈ RingOps) → (◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
11	10	ancoms 458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (◡𝑓 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑟) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
12	8, 11	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
13	12	exlimdv 1934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟))
14	13	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)) → 𝑠 ≃𝑟 𝑟)
15	6, 14	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟)
16		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑡 ∈ V
17	5, 16	isrisc 38125	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ≃𝑟 𝑡 ↔ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)))
18		exdistrv 1956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)))
19		rngoisoco 38122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) ∧ (𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡))
20	19	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡)))
21		risci 38127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps ∧ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
22	21	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
23	22	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
24	20, 23	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
25	24	exlimdvv 1935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
26	18, 25	biimtrrid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
27	26	3expb 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ RingOps ∧ (𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps)) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
28	27	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ (𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps)) → ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡)) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
29	28	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ (𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps)) ∧ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡))) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
30	29	an4s 660	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑟 ∈ RingOps ∧ 𝑠 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingOpsIso 𝑠)) ∧ ((𝑠 ∈ RingOps ∧ 𝑡 ∈ RingOps) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 RingOpsIso 𝑡))) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
31	6, 17, 30	syl2anb 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡)
32	15, 31	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
33	32	ax-gen 1796	. . 3 ⊢ ∀𝑡((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
34	33	gen2 1797	. 2 ⊢ ∀𝑟∀𝑠∀𝑡((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))
35		dfer2 8634	. 2 ⊢ ( ≃𝑟 Er dom ≃𝑟 ↔ (Rel ≃𝑟 ∧ dom ≃𝑟 = dom ≃𝑟 ∧ ∀𝑟∀𝑠∀𝑡((𝑟 ≃𝑟 𝑠 → 𝑠 ≃𝑟 𝑟) ∧ ((𝑟 ≃𝑟 𝑠 ∧ 𝑠 ≃𝑟 𝑡) → 𝑟 ≃𝑟 𝑡))))
36	2, 3, 34, 35	mpbir3an 1342	1 ⊢ ≃𝑟 Er dom ≃𝑟

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622   ∘ ccom 5626  Rel wrel 5627  (class class class)co 7356   Er wer 8630  RingOpscrngo 38034   RingOpsIso crngoiso 38101   ≃_𝑟 crisc 38102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8763  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ablo 30569  df-ass 37983  df-exid 37985  df-mgmOLD 37989  df-sgrOLD 38001  df-mndo 38007  df-rngo 38035  df-rngohom 38103  df-rngoiso 38116  df-risc 38123

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