Theorem disjeq 38094

Description: Equality theorem for disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj 𝐴 ↔ Disj 𝐵))

Proof of Theorem disjeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqimss2 4033	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2	1	disjssd 38093	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj 𝐴 → Disj 𝐵))
3		eqimss 4032	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	3	disjssd 38093	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj 𝐵 → Disj 𝐴))
5	2, 4	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj 𝐴 ↔ Disj 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   Disj wdisjALTV 37567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-br 5139  df-opab 5201  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-coss 37771  df-cnvrefrel 37887  df-funALTV 38042  df-disjALTV 38065

This theorem is referenced by:  disjeqi  38095  disjeqd  38096  disjdmqseqeq1  38097