Theorem disjeq 38333

Description: Equality theorem for disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjeq	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj 𝐴 ↔ Disj 𝐵))

Proof of Theorem disjeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqimss2 4036	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
2	1	disjssd 38332	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj 𝐴 → Disj 𝐵))
3		eqimss 4035	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4	3	disjssd 38332	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj 𝐵 → Disj 𝐴))
5	2, 4	impbid 211	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ( Disj 𝐴 ↔ Disj 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   Disj wdisjALTV 37810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-coss 38010  df-cnvrefrel 38126  df-funALTV 38281  df-disjALTV 38304

This theorem is referenced by:  disjeqi  38334  disjeqd  38335  disjdmqseqeq1  38336