MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvds2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvds2lem 16152
Description: A lemma to assist theorems of โˆฅ with two antecedents. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
dvds2lem.1 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค))
dvds2lem.2 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
dvds2lem.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
dvds2lem.4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
dvds2lem.5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
Assertion
Ref Expression
dvds2lem (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ผ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฝ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ฟ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem dvds2lem
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvds2lem.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค))
2 dvds2lem.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค))
3 divides 16139 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ โˆฅ ๐ฝ โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ))
4 divides 16139 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ โˆฅ ๐ฟ โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ))
53, 4bi2anan9 638 . . . . . 6 (((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ)))
61, 2, 5syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ)))
76biimpd 228 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ)))
8 reeanv 3218 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ))
97, 8syl6ibr 252 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ)))
10 dvds2lem.4 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
11 dvds2lem.5 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
12 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘€) = (๐‘ ยท ๐‘€))
1312eqeq1d 2739 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘))
1413rspcev 3582 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘)
1510, 11, 14syl6an 683 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
1615rexlimdvva 3206 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐ฝ โˆง (๐‘ฆ ยท ๐พ) = ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
179, 16syld 47 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
18 dvds2lem.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
19 divides 16139 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
2018, 19syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐‘€) = ๐‘))
2117, 20sylibrd 259 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผ โˆฅ ๐ฝ โˆง ๐พ โˆฅ ๐ฟ) โ†’ ๐‘€ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358   ยท cmul 11057  โ„คcz 12500   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-iota 6449  df-fv 6505  df-ov 7361  df-dvds 16138
This theorem is referenced by:  dvds2ln  16172  dvds2add  16173  dvds2sub  16174  dvdstr  16177
  Copyright terms: Public domain W3C validator