MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iddvds 15615
Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
iddvds (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)

Proof of Theorem iddvds
StepHypRef Expression
1 zcn 11978 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21mulid2d 10651 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3 1z 12004 . . . 4 1 ∈ ℤ
4 dvds0lem 15612 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁𝑁)
53, 4mp3anl1 1448 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁𝑁)
65anabsan 661 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁𝑁)
72, 6mpdan 683 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2106   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  1c1 10530   · cmul 10534  cz 11973  cdvds 15599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-neg 10865  df-nn 11631  df-z 11974  df-dvds 15600
This theorem is referenced by:  dvdsadd  15644  dvds1  15661  dvdsext  15663  z2even  15712  n2dvds3OLD  15714  divalglem0  15736  divalglem2  15738  sadadd3  15802  gcd0id  15859  gcdzeq  15894  mulgcddvds  15991  1idssfct  16016  isprm2lem  16017  dvdsprime  16023  dvdsprm  16039  exprmfct  16040  coprm  16047  isprm6  16050  pcidlem  16200  pcprmpw2  16210  pcprmpw  16211  prmgaplem1  16377  prmgaplem2  16378  prmgaplcmlem1  16379  prmgaplcmlem2  16380  odeq  18600  pgpfi  18652  znidomb  20624  sgmnncl  25638  muinv  25684  ppiublem2  25693  perfect1  25718  perfectlem2  25720  2sqlem6  25913  ex-ind-dvds  28155  eulerpartlemt  31516  dfgcd3  34475  poimirlem25  34785  poimirlem27  34787  jm2.18  39447  jm2.15nn0  39462  jm2.16nn0  39463  jm2.27c  39466  nzss  40511  etransclem25  42407  perfectALTVlem2  43716
  Copyright terms: Public domain W3C validator