Theorem iddvds 16196

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12493	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11150	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12521	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16193	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1457	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 665	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  1c1 11027   · cmul 11031  ℤcz 12488   ∥ cdvds 16179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-neg 11367  df-nn 12146  df-z 12489  df-dvds 16180

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16229  dvds1  16246  dvdsext  16248  z2even  16297  divalglem0  16320  divalglem2  16322  sadadd3  16388  gcd0id  16446  gcdzeq  16479  mulgcddvds  16582  1idssfct  16607  isprm2lem  16608  dvdsprime  16614  dvdsprm  16630  exprmfct  16631  coprm  16638  isprm6  16641  pcidlem  16800  pcprmpw2  16810  pcprmpw  16811  prmgaplem1  16977  prmgaplem2  16978  prmgaplcmlem1  16979  prmgaplcmlem2  16980  odeq  19479  pgpfi  19534  znidomb  21516  sgmnncl  27113  muinv  27159  ppiublem2  27170  perfect1  27195  perfectlem2  27197  2sqlem6  27390  ex-ind-dvds  30536  2sqr3nconstr  33938  cos9thpinconstrlem2  33947  eulerpartlemt  34528  dfgcd3  37529  poimirlem25  37846  poimirlem27  37848  aks4d1p9  42342  unitscyglem2  42450  unitscyglem4  42452  jm2.18  43230  jm2.15nn0  43245  jm2.16nn0  43246  jm2.27c  43249  nzss  44558  etransclem25  46503  perfectALTVlem2  47968