Theorem iddvds 16197

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12494	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11151	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12522	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16194	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1458	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 666	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  1c1 11028   · cmul 11032  ℤcz 12489   ∥ cdvds 16180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-neg 11368  df-nn 12147  df-z 12490  df-dvds 16181

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16230  dvds1  16247  dvdsext  16249  z2even  16298  divalglem0  16321  divalglem2  16323  sadadd3  16389  gcd0id  16447  gcdzeq  16480  mulgcddvds  16583  1idssfct  16608  isprm2lem  16609  dvdsprime  16615  dvdsprm  16631  exprmfct  16632  coprm  16639  isprm6  16642  pcidlem  16801  pcprmpw2  16811  pcprmpw  16812  prmgaplem1  16978  prmgaplem2  16979  prmgaplcmlem1  16980  prmgaplcmlem2  16981  odeq  19483  pgpfi  19538  znidomb  21518  sgmnncl  27097  muinv  27143  ppiublem2  27154  perfect1  27179  perfectlem2  27181  2sqlem6  27374  ex-ind-dvds  30520  2sqr3nconstr  33931  cos9thpinconstrlem2  33940  eulerpartlemt  34521  dfgcd3  37636  poimirlem25  37957  poimirlem27  37959  aks4d1p9  42519  unitscyglem2  42627  unitscyglem4  42629  jm2.18  43419  jm2.15nn0  43434  jm2.16nn0  43435  jm2.27c  43438  nzss  44747  etransclem25  46691  perfectALTVlem2  48156