Theorem iddvds 15331

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11667	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulid2d 10345	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 11693	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 15328	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1580	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 656	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 679	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4841  (class class class)co 6876  1c1 10223   · cmul 10227  ℤcz 11662   ∥ cdvds 15316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-om 7298  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-neg 10557  df-nn 11311  df-z 11663  df-dvds 15317

This theorem is referenced by:  dvdsadd  15360  dvds1  15377  dvdsext  15379  z2even  15439  n2dvds3  15440  divalglem0  15449  divalglem2  15451  sadadd3  15515  gcd0id  15572  gcdzeq  15603  mulgcddvds  15700  1idssfct  15724  isprm2lem  15725  dvdsprime  15731  3prm  15737  dvdsprm  15745  exprmfct  15746  coprm  15753  isprm6  15756  pcidlem  15906  pcprmpw2  15916  pcprmpw  15917  prmgaplem1  16083  prmgaplem2  16084  prmgaplcmlem1  16085  prmgaplcmlem2  16086  odeq  18279  pgpfi  18330  znidomb  20228  sgmnncl  25222  muinv  25268  ppiublem2  25277  perfect1  25302  perfectlem2  25304  2lgslem2  25469  2lgs2  25479  2sqlem6  25497  eupth2lem3lem3  27567  ex-ind-dvds  27838  eulerpartlemt  30941  dfgcd3  33661  poimirlem25  33915  poimirlem27  33917  jm2.18  38328  jm2.15nn0  38343  jm2.16nn0  38344  jm2.27c  38347  nzss  39286  etransclem25  41207  perfectALTVlem2  42401