Theorem iddvds 16200

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12497	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11154	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12525	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16197	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1458	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 666	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  1c1 11031   · cmul 11035  ℤcz 12492   ∥ cdvds 16183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-neg 11371  df-nn 12150  df-z 12493  df-dvds 16184

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16233  dvds1  16250  dvdsext  16252  z2even  16301  divalglem0  16324  divalglem2  16326  sadadd3  16392  gcd0id  16450  gcdzeq  16483  mulgcddvds  16586  1idssfct  16611  isprm2lem  16612  dvdsprime  16618  dvdsprm  16634  exprmfct  16635  coprm  16642  isprm6  16645  pcidlem  16804  pcprmpw2  16814  pcprmpw  16815  prmgaplem1  16981  prmgaplem2  16982  prmgaplcmlem1  16983  prmgaplcmlem2  16984  odeq  19483  pgpfi  19538  znidomb  21520  sgmnncl  27117  muinv  27163  ppiublem2  27174  perfect1  27199  perfectlem2  27201  2sqlem6  27394  ex-ind-dvds  30519  2sqr3nconstr  33919  cos9thpinconstrlem2  33928  eulerpartlemt  34509  dfgcd3  37500  poimirlem25  37817  poimirlem27  37819  aks4d1p9  42379  unitscyglem2  42487  unitscyglem4  42489  jm2.18  43266  jm2.15nn0  43281  jm2.16nn0  43282  jm2.27c  43285  nzss  44594  etransclem25  46539  perfectALTVlem2  48004