Theorem iddvds 15907

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12254	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulid2d 10924	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12280	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 15904	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1453	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 661	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 683	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  1c1 10803   · cmul 10807  ℤcz 12249   ∥ cdvds 15891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-neg 11138  df-nn 11904  df-z 12250  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  dvdsadd  15939  dvds1  15956  dvdsext  15958  z2even  16007  divalglem0  16030  divalglem2  16032  sadadd3  16096  gcd0id  16154  gcdzeq  16190  mulgcddvds  16288  1idssfct  16313  isprm2lem  16314  dvdsprime  16320  dvdsprm  16336  exprmfct  16337  coprm  16344  isprm6  16347  pcidlem  16501  pcprmpw2  16511  pcprmpw  16512  prmgaplem1  16678  prmgaplem2  16679  prmgaplcmlem1  16680  prmgaplcmlem2  16681  odeq  19073  pgpfi  19125  znidomb  20681  sgmnncl  26201  muinv  26247  ppiublem2  26256  perfect1  26281  perfectlem2  26283  2sqlem6  26476  ex-ind-dvds  28726  eulerpartlemt  32238  dfgcd3  35422  poimirlem25  35729  poimirlem27  35731  aks4d1p9  40024  jm2.18  40726  jm2.15nn0  40741  jm2.16nn0  40742  jm2.27c  40745  nzss  41824  etransclem25  43690  perfectALTVlem2  45062