Theorem iddvds 16363

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12623	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11254	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12651	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16360	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 678	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  1c1 11128   · cmul 11132  ℤcz 12618   ∥ cdvds 16346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-neg 11471  df-nn 12261  df-z 12619  df-dvds 16347

This theorem is used by:  dvdsadd  16396  dvds1  16413  dvdsext  16415  z2even  16464  divalglem0  16487  divalglem2  16489  sadadd3  16555  gcd0id  16613  gcdzeq  16646  mulgcddvds  16749  1idssfct  16774  isprm2lem  16775  dvdsprime  16781  dvdsprm  16798  exprmfct  16799  coprm  16806  isprm6  16809  pcidlem  16968  pcprmpw2  16978  pcprmpw  16979  prmgaplem1  17145  prmgaplem2  17146  prmgaplcmlem1  17147  prmgaplcmlem2  17148  odeq  19678  pgpfi  19733  znidomb  21775  sgmnncl  27381  muinv  27427  ppiublem2  27437  perfect1  27462  perfectlem2  27464  2sqlem6  27657  ex-ind-dvds  30927  2sqr3nconstr  34278  cos9thpinconstrlem2  34287  eulerpartlemt  34869  dfgcd3  38063  poimirlem25  38381  poimirlem27  38383  aks4d1p9  42941  unitscyglem2  43049  unitscyglem4  43051  jm2.18  43816  jm2.15nn0  43831  jm2.16nn0  43832  jm2.27c  43835  nzss  45128  etransclem25  47074  perfectALTVlem2  48625