Theorem iddvds 16186

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12479	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11136	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12508	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16183	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1457	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 665	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  1c1 11013   · cmul 11017  ℤcz 12474   ∥ cdvds 16169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-neg 11353  df-nn 12132  df-z 12475  df-dvds 16170

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16219  dvds1  16236  dvdsext  16238  z2even  16287  divalglem0  16310  divalglem2  16312  sadadd3  16378  gcd0id  16436  gcdzeq  16469  mulgcddvds  16572  1idssfct  16597  isprm2lem  16598  dvdsprime  16604  dvdsprm  16620  exprmfct  16621  coprm  16628  isprm6  16631  pcidlem  16790  pcprmpw2  16800  pcprmpw  16801  prmgaplem1  16967  prmgaplem2  16968  prmgaplcmlem1  16969  prmgaplcmlem2  16970  odeq  19468  pgpfi  19523  znidomb  21504  sgmnncl  27090  muinv  27136  ppiublem2  27147  perfect1  27172  perfectlem2  27174  2sqlem6  27367  ex-ind-dvds  30448  2sqr3nconstr  33801  cos9thpinconstrlem2  33810  eulerpartlemt  34391  dfgcd3  37375  poimirlem25  37691  poimirlem27  37693  aks4d1p9  42187  unitscyglem2  42295  unitscyglem4  42297  jm2.18  43086  jm2.15nn0  43101  jm2.16nn0  43102  jm2.27c  43105  nzss  44415  etransclem25  46362  perfectALTVlem2  47827