Theorem iddvds 16439

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12698	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11327	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12726	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16436	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 678	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  1c1 11201   · cmul 11205  ℤcz 12693   ∥ cdvds 16422

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-neg 11544  df-nn 12336  df-z 12694  df-dvds 16423

This theorem is used by:  dvdsadd  16472  dvds1  16489  dvdsext  16491  z2even  16540  divalglem0  16563  divalglem2  16565  sadadd3  16631  gcd0id  16691  gcdzeq  16725  mulgcddvds  16830  1idssfct  16855  isprm2lem  16856  dvdsprime  16862  dvdsprm  16879  exprmfct  16880  coprm  16887  isprm6  16890  pcidlem  17050  pcprmpw2  17060  pcprmpw  17061  prmgaplem1  17227  prmgaplem2  17228  prmgaplcmlem1  17229  prmgaplcmlem2  17230  odeq  19764  pgpfi  19819  znidomb  21867  sgmnncl  27474  muinv  27520  ppiublem2  27530  perfect1  27555  perfectlem2  27557  2sqlem6  27750  ex-ind-dvds  31062  2sqr3nconstr  34455  cos9thpinconstrlem2  34464  eulerpartlemt  35045  dfgcd3  38288  poimirlem25  38606  poimirlem27  38608  aks4d1p9  43181  unitscyglem2  43289  unitscyglem4  43291  jm2.18  44038  jm2.15nn0  44053  jm2.16nn0  44054  jm2.27c  44057  nzss  45344  etransclem25  47312  perfectALTVlem2  48863