Theorem iddvds 16198

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12494	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11152	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12523	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16195	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1457	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 665	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  1c1 11029   · cmul 11033  ℤcz 12489   ∥ cdvds 16181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-neg 11368  df-nn 12147  df-z 12490  df-dvds 16182

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16231  dvds1  16248  dvdsext  16250  z2even  16299  divalglem0  16322  divalglem2  16324  sadadd3  16390  gcd0id  16448  gcdzeq  16481  mulgcddvds  16584  1idssfct  16609  isprm2lem  16610  dvdsprime  16616  dvdsprm  16632  exprmfct  16633  coprm  16640  isprm6  16643  pcidlem  16802  pcprmpw2  16812  pcprmpw  16813  prmgaplem1  16979  prmgaplem2  16980  prmgaplcmlem1  16981  prmgaplcmlem2  16982  odeq  19447  pgpfi  19502  znidomb  21486  sgmnncl  27073  muinv  27119  ppiublem2  27130  perfect1  27155  perfectlem2  27157  2sqlem6  27350  ex-ind-dvds  30423  2sqr3nconstr  33747  cos9thpinconstrlem2  33756  eulerpartlemt  34338  dfgcd3  37297  poimirlem25  37624  poimirlem27  37626  aks4d1p9  42061  unitscyglem2  42169  unitscyglem4  42171  jm2.18  42961  jm2.15nn0  42976  jm2.16nn0  42977  jm2.27c  42980  nzss  44290  etransclem25  46241  perfectALTVlem2  47707