Theorem iddvds 15617

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11980	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulid2d 10653	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12006	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 15614	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1451	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 663	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 685	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  1c1 10532   · cmul 10536  ℤcz 11975   ∥ cdvds 15601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-neg 10867  df-nn 11633  df-z 11976  df-dvds 15602

This theorem is referenced by:  dvdsadd  15646  dvds1  15663  dvdsext  15665  z2even  15714  n2dvds3OLD  15716  divalglem0  15738  divalglem2  15740  sadadd3  15804  gcd0id  15861  gcdzeq  15896  mulgcddvds  15993  1idssfct  16018  isprm2lem  16019  dvdsprime  16025  dvdsprm  16041  exprmfct  16042  coprm  16049  isprm6  16052  pcidlem  16202  pcprmpw2  16212  pcprmpw  16213  prmgaplem1  16379  prmgaplem2  16380  prmgaplcmlem1  16381  prmgaplcmlem2  16382  odeq  18672  pgpfi  18724  znidomb  20702  sgmnncl  25718  muinv  25764  ppiublem2  25773  perfect1  25798  perfectlem2  25800  2sqlem6  25993  ex-ind-dvds  28234  eulerpartlemt  31624  dfgcd3  34599  poimirlem25  34911  poimirlem27  34913  jm2.18  39578  jm2.15nn0  39593  jm2.16nn0  39594  jm2.27c  39597  nzss  40642  etransclem25  42537  perfectALTVlem2  43880