Theorem iddvds 16468

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12725	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11354	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12753	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16465	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1485	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 678	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  1c1 11228   · cmul 11232  ℤcz 12720   ∥ cdvds 16451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-neg 11571  df-nn 12363  df-z 12721  df-dvds 16452

This theorem is used by:  dvdsadd  16501  dvds1  16518  dvdsext  16520  z2even  16569  divalglem0  16592  divalglem2  16594  sadadd3  16660  gcd0id  16720  gcdzeq  16754  mulgcddvds  16859  1idssfct  16884  isprm2lem  16885  dvdsprime  16891  dvdsprm  16908  exprmfct  16909  coprm  16916  isprm6  16919  pcidlem  17079  pcprmpw2  17089  pcprmpw  17090  prmgaplem1  17256  prmgaplem2  17257  prmgaplcmlem1  17258  prmgaplcmlem2  17259  odeq  19794  pgpfi  19849  znidomb  21897  sgmnncl  27504  muinv  27550  ppiublem2  27560  perfect1  27585  perfectlem2  27587  2sqlem6  27780  ex-ind-dvds  31092  2sqr3nconstr  34483  cos9thpinconstrlem2  34492  eulerpartlemt  35073  dfgcd3  38437  poimirlem25  38755  poimirlem27  38757  aks4d1p9  43330  unitscyglem2  43438  unitscyglem4  43440  jm2.18  44188  jm2.15nn0  44203  jm2.16nn0  44204  jm2.27c  44207  nzss  45493  etransclem25  47474  perfectALTVlem2  49025