Theorem iddvds 16326

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11226	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12623	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16323	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1482	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 677	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 699	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108  (class class class)co 7410  1c1 11100   · cmul 11104  ℤcz 12590   ∥ cdvds 16309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-neg 11443  df-nn 12233  df-z 12591  df-dvds 16310

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16359  dvds1  16376  dvdsext  16378  z2even  16427  divalglem0  16450  divalglem2  16452  sadadd3  16518  gcd0id  16576  gcdzeq  16609  mulgcddvds  16712  1idssfct  16737  isprm2lem  16738  dvdsprime  16744  dvdsprm  16761  exprmfct  16762  coprm  16769  isprm6  16772  pcidlem  16931  pcprmpw2  16941  pcprmpw  16942  prmgaplem1  17108  prmgaplem2  17109  prmgaplcmlem1  17110  prmgaplcmlem2  17111  odeq  19619  pgpfi  19674  znidomb  21690  sgmnncl  27287  muinv  27333  ppiublem2  27343  perfect1  27368  perfectlem2  27370  2sqlem6  27563  ex-ind-dvds  30778  2sqr3nconstr  34137  cos9thpinconstrlem2  34146  eulerpartlemt  34727  dfgcd3  37912  poimirlem25  38240  poimirlem27  38242  aks4d1p9  42801  unitscyglem2  42909  unitscyglem4  42911  jm2.18  43663  jm2.15nn0  43678  jm2.16nn0  43679  jm2.27c  43682  nzss  44975  etransclem25  46921  perfectALTVlem2  48432