Theorem iddvds 16245

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12540	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11198	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12569	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16242	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1457	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 665	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  1c1 11075   · cmul 11079  ℤcz 12535   ∥ cdvds 16228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-neg 11414  df-nn 12188  df-z 12536  df-dvds 16229

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16278  dvds1  16295  dvdsext  16297  z2even  16346  divalglem0  16369  divalglem2  16371  sadadd3  16437  gcd0id  16495  gcdzeq  16528  mulgcddvds  16631  1idssfct  16656  isprm2lem  16657  dvdsprime  16663  dvdsprm  16679  exprmfct  16680  coprm  16687  isprm6  16690  pcidlem  16849  pcprmpw2  16859  pcprmpw  16860  prmgaplem1  17026  prmgaplem2  17027  prmgaplcmlem1  17028  prmgaplcmlem2  17029  odeq  19486  pgpfi  19541  znidomb  21477  sgmnncl  27063  muinv  27109  ppiublem2  27120  perfect1  27145  perfectlem2  27147  2sqlem6  27340  ex-ind-dvds  30396  2sqr3nconstr  33777  cos9thpinconstrlem2  33786  eulerpartlemt  34368  dfgcd3  37307  poimirlem25  37634  poimirlem27  37636  aks4d1p9  42071  unitscyglem2  42179  unitscyglem4  42181  jm2.18  42970  jm2.15nn0  42985  jm2.16nn0  42986  jm2.27c  42989  nzss  44299  etransclem25  46250  perfectALTVlem2  47713