MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iddvds 16112
Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
iddvds (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)

Proof of Theorem iddvds
StepHypRef Expression
1 zcn 12462 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21mulid2d 11131 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3 1z 12491 . . . 4 1 ∈ ℤ
4 dvds0lem 16109 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁𝑁)
53, 4mp3anl1 1455 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁𝑁)
65anabsan 663 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁𝑁)
72, 6mpdan 685 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  1c1 11010   · cmul 11014  cz 12457  cdvds 16096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-neg 11346  df-nn 12112  df-z 12458  df-dvds 16097
This theorem is referenced by:  dvdsadd  16144  dvds1  16161  dvdsext  16163  z2even  16212  divalglem0  16235  divalglem2  16237  sadadd3  16301  gcd0id  16359  gcdzeq  16393  mulgcddvds  16491  1idssfct  16516  isprm2lem  16517  dvdsprime  16523  dvdsprm  16539  exprmfct  16540  coprm  16547  isprm6  16550  pcidlem  16704  pcprmpw2  16714  pcprmpw  16715  prmgaplem1  16881  prmgaplem2  16882  prmgaplcmlem1  16883  prmgaplcmlem2  16884  odeq  19291  pgpfi  19346  znidomb  20921  sgmnncl  26448  muinv  26494  ppiublem2  26503  perfect1  26528  perfectlem2  26530  2sqlem6  26723  ex-ind-dvds  29234  eulerpartlemt  32783  dfgcd3  35733  poimirlem25  36041  poimirlem27  36043  aks4d1p9  40483  jm2.18  41221  jm2.15nn0  41236  jm2.16nn0  41237  jm2.27c  41240  nzss  42508  etransclem25  44401  perfectALTVlem2  45815
  Copyright terms: Public domain W3C validator