MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iddvds 16153
Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
iddvds (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)

Proof of Theorem iddvds
StepHypRef Expression
1 zcn 12505 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
21mulid2d 11174 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
3 1z 12534 . . . 4 1 โˆˆ โ„ค
4 dvds0lem 16150 . . . 4 (((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (1 ยท ๐‘) = ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
53, 4mp3anl1 1456 . . 3 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (1 ยท ๐‘) = ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
65anabsan 664 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (1 ยท ๐‘) = ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
72, 6mpdan 686 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  1c1 11053   ยท cmul 11057  โ„คcz 12500   โˆฅ cdvds 16137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-neg 11389  df-nn 12155  df-z 12501  df-dvds 16138
This theorem is referenced by:  dvdsadd  16185  dvds1  16202  dvdsext  16204  z2even  16253  divalglem0  16276  divalglem2  16278  sadadd3  16342  gcd0id  16400  gcdzeq  16434  mulgcddvds  16532  1idssfct  16557  isprm2lem  16558  dvdsprime  16564  dvdsprm  16580  exprmfct  16581  coprm  16588  isprm6  16591  pcidlem  16745  pcprmpw2  16755  pcprmpw  16756  prmgaplem1  16922  prmgaplem2  16923  prmgaplcmlem1  16924  prmgaplcmlem2  16925  odeq  19333  pgpfi  19388  znidomb  20971  sgmnncl  26499  muinv  26545  ppiublem2  26554  perfect1  26579  perfectlem2  26581  2sqlem6  26774  ex-ind-dvds  29408  eulerpartlemt  32974  dfgcd3  35798  poimirlem25  36106  poimirlem27  36108  aks4d1p9  40548  jm2.18  41315  jm2.15nn0  41330  jm2.16nn0  41331  jm2.27c  41334  nzss  42604  etransclem25  44507  perfectALTVlem2  45921
  Copyright terms: Public domain W3C validator