Theorem iddvds 16172

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12465	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11122	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12494	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16169	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1457	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 665	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  (class class class)co 7341  1c1 10999   · cmul 11003  ℤcz 12460   ∥ cdvds 16155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-neg 11339  df-nn 12118  df-z 12461  df-dvds 16156

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16205  dvds1  16222  dvdsext  16224  z2even  16273  divalglem0  16296  divalglem2  16298  sadadd3  16364  gcd0id  16422  gcdzeq  16455  mulgcddvds  16558  1idssfct  16583  isprm2lem  16584  dvdsprime  16590  dvdsprm  16606  exprmfct  16607  coprm  16614  isprm6  16617  pcidlem  16776  pcprmpw2  16786  pcprmpw  16787  prmgaplem1  16953  prmgaplem2  16954  prmgaplcmlem1  16955  prmgaplcmlem2  16956  odeq  19455  pgpfi  19510  znidomb  21491  sgmnncl  27077  muinv  27123  ppiublem2  27134  perfect1  27159  perfectlem2  27161  2sqlem6  27354  ex-ind-dvds  30431  2sqr3nconstr  33784  cos9thpinconstrlem2  33793  eulerpartlemt  34374  dfgcd3  37337  poimirlem25  37664  poimirlem27  37666  aks4d1p9  42100  unitscyglem2  42208  unitscyglem4  42210  jm2.18  43000  jm2.15nn0  43015  jm2.16nn0  43016  jm2.27c  43019  nzss  44329  etransclem25  46276  perfectALTVlem2  47732