Theorem iddvds 16303

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11276	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12644	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16300	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1454	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 665	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  1c1 11153   · cmul 11157  ℤcz 12610   ∥ cdvds 16286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-neg 11492  df-nn 12264  df-z 12611  df-dvds 16287

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16335  dvds1  16352  dvdsext  16354  z2even  16403  divalglem0  16426  divalglem2  16428  sadadd3  16494  gcd0id  16552  gcdzeq  16585  mulgcddvds  16688  1idssfct  16713  isprm2lem  16714  dvdsprime  16720  dvdsprm  16736  exprmfct  16737  coprm  16744  isprm6  16747  pcidlem  16905  pcprmpw2  16915  pcprmpw  16916  prmgaplem1  17082  prmgaplem2  17083  prmgaplcmlem1  17084  prmgaplcmlem2  17085  odeq  19582  pgpfi  19637  znidomb  21597  sgmnncl  27204  muinv  27250  ppiublem2  27261  perfect1  27286  perfectlem2  27288  2sqlem6  27481  ex-ind-dvds  30489  eulerpartlemt  34352  dfgcd3  37306  poimirlem25  37631  poimirlem27  37633  aks4d1p9  42069  unitscyglem2  42177  unitscyglem4  42179  jm2.18  42976  jm2.15nn0  42991  jm2.16nn0  42992  jm2.27c  42995  nzss  44312  etransclem25  46214  perfectALTVlem2  47646