Theorem iddvds 15671

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12025	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mulid2d 10697	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12051	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 15668	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1452	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 664	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 686	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  (class class class)co 7150  1c1 10576   · cmul 10580  ℤcz 12020   ∥ cdvds 15655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-neg 10911  df-nn 11675  df-z 12021  df-dvds 15656

This theorem is referenced by:  dvdsadd  15703  dvds1  15720  dvdsext  15722  z2even  15771  divalglem0  15794  divalglem2  15796  sadadd3  15860  gcd0id  15918  gcdzeq  15953  mulgcddvds  16051  1idssfct  16076  isprm2lem  16077  dvdsprime  16083  dvdsprm  16099  exprmfct  16100  coprm  16107  isprm6  16110  pcidlem  16263  pcprmpw2  16273  pcprmpw  16274  prmgaplem1  16440  prmgaplem2  16441  prmgaplcmlem1  16442  prmgaplcmlem2  16443  odeq  18745  pgpfi  18797  znidomb  20329  sgmnncl  25831  muinv  25877  ppiublem2  25886  perfect1  25911  perfectlem2  25913  2sqlem6  26106  ex-ind-dvds  28345  eulerpartlemt  31857  dfgcd3  35018  poimirlem25  35362  poimirlem27  35364  jm2.18  40302  jm2.15nn0  40317  jm2.16nn0  40318  jm2.27c  40321  nzss  41394  etransclem25  43267  perfectALTVlem2  44607