Theorem iddvds 16406

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12667	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11298	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12695	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16403	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 678	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  1c1 11172   · cmul 11176  ℤcz 12662   ∥ cdvds 16389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-neg 11515  df-nn 12305  df-z 12663  df-dvds 16390

This theorem is used by:  dvdsadd  16439  dvds1  16456  dvdsext  16458  z2even  16507  divalglem0  16530  divalglem2  16532  sadadd3  16598  gcd0id  16656  gcdzeq  16689  mulgcddvds  16792  1idssfct  16817  isprm2lem  16818  dvdsprime  16824  dvdsprm  16841  exprmfct  16842  coprm  16849  isprm6  16852  pcidlem  17011  pcprmpw2  17021  pcprmpw  17022  prmgaplem1  17188  prmgaplem2  17189  prmgaplcmlem1  17190  prmgaplcmlem2  17191  odeq  19725  pgpfi  19780  znidomb  21828  sgmnncl  27437  muinv  27483  ppiublem2  27493  perfect1  27518  perfectlem2  27520  2sqlem6  27713  ex-ind-dvds  30995  2sqr3nconstr  34346  cos9thpinconstrlem2  34355  eulerpartlemt  34937  dfgcd3  38165  poimirlem25  38483  poimirlem27  38485  aks4d1p9  43058  unitscyglem2  43166  unitscyglem4  43168  jm2.18  43933  jm2.15nn0  43948  jm2.16nn0  43949  jm2.27c  43952  nzss  45245  etransclem25  47191  perfectALTVlem2  48742