Theorem iddvds 16201

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12498	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11155	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12526	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16198	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1458	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 666	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7361  1c1 11032   · cmul 11036  ℤcz 12493   ∥ cdvds 16184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-neg 11372  df-nn 12151  df-z 12494  df-dvds 16185

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16234  dvds1  16251  dvdsext  16253  z2even  16302  divalglem0  16325  divalglem2  16327  sadadd3  16393  gcd0id  16451  gcdzeq  16484  mulgcddvds  16587  1idssfct  16612  isprm2lem  16613  dvdsprime  16619  dvdsprm  16635  exprmfct  16636  coprm  16643  isprm6  16646  pcidlem  16805  pcprmpw2  16815  pcprmpw  16816  prmgaplem1  16982  prmgaplem2  16983  prmgaplcmlem1  16984  prmgaplcmlem2  16985  odeq  19484  pgpfi  19539  znidomb  21521  sgmnncl  27118  muinv  27164  ppiublem2  27175  perfect1  27200  perfectlem2  27202  2sqlem6  27395  ex-ind-dvds  30541  2sqr3nconstr  33951  cos9thpinconstrlem2  33960  eulerpartlemt  34541  dfgcd3  37542  poimirlem25  37859  poimirlem27  37861  aks4d1p9  42421  unitscyglem2  42529  unitscyglem4  42531  jm2.18  43308  jm2.15nn0  43323  jm2.16nn0  43324  jm2.27c  43327  nzss  44636  etransclem25  46580  perfectALTVlem2  48045