Theorem iddvds 16313

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11211	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12611	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16310	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1477	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 675	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 697	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  (class class class)co 7396  1c1 11085   · cmul 11089  ℤcz 12578   ∥ cdvds 16296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-neg 11428  df-nn 12221  df-z 12579  df-dvds 16297

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16346  dvds1  16363  dvdsext  16365  z2even  16414  divalglem0  16437  divalglem2  16439  sadadd3  16505  gcd0id  16563  gcdzeq  16596  mulgcddvds  16699  1idssfct  16724  isprm2lem  16725  dvdsprime  16731  dvdsprm  16748  exprmfct  16749  coprm  16756  isprm6  16759  pcidlem  16918  pcprmpw2  16928  pcprmpw  16929  prmgaplem1  17095  prmgaplem2  17096  prmgaplcmlem1  17097  prmgaplcmlem2  17098  odeq  19600  pgpfi  19655  znidomb  21620  sgmnncl  27218  muinv  27264  ppiublem2  27274  perfect1  27299  perfectlem2  27301  2sqlem6  27494  ex-ind-dvds  30670  2sqr3nconstr  34080  cos9thpinconstrlem2  34089  eulerpartlemt  34670  dfgcd3  37821  poimirlem25  38149  poimirlem27  38151  aks4d1p9  42710  unitscyglem2  42818  unitscyglem4  42820  jm2.18  43570  jm2.15nn0  43585  jm2.16nn0  43586  jm2.27c  43589  nzss  44884  etransclem25  46824  perfectALTVlem2  48335