Theorem iddvds 16333

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12602	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11233	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12630	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16330	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1483	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 677	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 699	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  1c1 11107   · cmul 11111  ℤcz 12597   ∥ cdvds 16316

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-neg 11450  df-nn 12240  df-z 12598  df-dvds 16317

This theorem is used by:  dvdsadd  16366  dvds1  16383  dvdsext  16385  z2even  16434  divalglem0  16457  divalglem2  16459  sadadd3  16525  gcd0id  16583  gcdzeq  16616  mulgcddvds  16719  1idssfct  16744  isprm2lem  16745  dvdsprime  16751  dvdsprm  16768  exprmfct  16769  coprm  16776  isprm6  16779  pcidlem  16938  pcprmpw2  16948  pcprmpw  16949  prmgaplem1  17115  prmgaplem2  17116  prmgaplcmlem1  17117  prmgaplcmlem2  17118  odeq  19626  pgpfi  19681  znidomb  21722  sgmnncl  27322  muinv  27368  ppiublem2  27378  perfect1  27403  perfectlem2  27405  2sqlem6  27598  ex-ind-dvds  30823  2sqr3nconstr  34180  cos9thpinconstrlem2  34189  eulerpartlemt  34770  dfgcd3  37996  poimirlem25  38324  poimirlem27  38326  aks4d1p9  42883  unitscyglem2  42991  unitscyglem4  42993  jm2.18  43743  jm2.15nn0  43758  jm2.16nn0  43759  jm2.27c  43762  nzss  45055  etransclem25  47001  perfectALTVlem2  48515