Theorem iddvds 16275

Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iddvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem iddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12559	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	mullidd 11186	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3		1z 12587	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		dvds0lem 16272	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
5	3, 4	mp3anl1 1466	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
6	5	anabsan 673	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁 ∥ 𝑁)
7	2, 6	mpdan 695	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  (class class class)co 7381  1c1 11060   · cmul 11064  ℤcz 12554   ∥ cdvds 16258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-neg 11403  df-nn 12197  df-z 12555  df-dvds 16259

This theorem is referenced by:  dvdsadd  16308  dvds1  16325  dvdsext  16327  z2even  16376  divalglem0  16399  divalglem2  16401  sadadd3  16467  gcd0id  16525  gcdzeq  16558  mulgcddvds  16661  1idssfct  16686  isprm2lem  16687  dvdsprime  16693  dvdsprm  16710  exprmfct  16711  coprm  16718  isprm6  16721  pcidlem  16880  pcprmpw2  16890  pcprmpw  16891  prmgaplem1  17057  prmgaplem2  17058  prmgaplcmlem1  17059  prmgaplcmlem2  17060  odeq  19562  pgpfi  19617  znidomb  21582  sgmnncl  27177  muinv  27223  ppiublem2  27233  perfect1  27258  perfectlem2  27260  2sqlem6  27453  ex-ind-dvds  30598  2sqr3nconstr  34022  cos9thpinconstrlem2  34031  eulerpartlemt  34612  dfgcd3  37754  poimirlem25  38082  poimirlem27  38084  aks4d1p9  42643  unitscyglem2  42751  unitscyglem4  42753  jm2.18  43503  jm2.15nn0  43518  jm2.16nn0  43519  jm2.27c  43522  nzss  44831  etransclem25  46771  perfectALTVlem2  48282